Функції багатьох змінних

1. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

Функція двох змінних
Частинна похідна.
Диференціал функції.
Дотична площина і нормаль до поверхні
Градієнт
Застосування диференціала для наближених обрахунків.
Дослідження функції двох змінних на умовний екстремум
Найбільше і найменше значення функції в замкненій області

2. Функція двох змінних

z f ( x, y)
z f (M )

3. Функція двох змінних

4. Функція двох змінних

5. Функція двох змінних

6. Частинні прирости і частинні похідні

7. Частинні прирости і частинні похідні

xz
lim
x 0 x
z
f ( x, y )
; z x ;
;
x
x
f x ( x, y ).
yz
z
f ( x, y)
; z y ;
;
y
y
f y ( x, y ).
lim
y 0
y

8. Частинні прирости і частинні похідні

9. Частинні прирости і частинні похідні

10. Повний приріст і повний диференціал

11. Повний приріст і повний диференціал

12. Повний приріст і повний диференціал

z f ( x x, y y) f ( x, y)
dz f x ( x, y)dx f y ( x, y )dy
z
z
dz dx dy
x
y
2
2
2
z
z
z 2
2
2
d z 2 dx 2
dxdy 2 dy
x y
x
y
u
u
u
du
dx dy dz
x
y
z

13. Дотична площина і нормаль до поверхні

нормаль
М
дотична площина
М0

14.

F ( x, y, z ) 0
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
Fx M ( x x0 ) Fy M ( y y0 ) Fz M ( z z0 ) 0
0
0
0
x x0
y y0
z z0
Fx M 0 Fy
Fz M 0
M0
z f ( x, y)
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
x x0
y y0
z z0
f x ( x0 y0 ) f y ( x0 , y0 )
1

15.

z x 2 xy y x 2 y
2
2
М(1, 1, 1)
z
z
2 x 2 y 1;
2 x 2 y 2
x
y
z
z
1;
2;
x M
y M
z 1 ( x 1) 2( y 1) или x 2 y z 0
x 1 y 1 z 1
1
2
1