Поняття похідної функції. Основні правила та формули диференціювання

1.

ЛЕКЦІЯ 3
Поняття похідної функції.
Основні правила та
формули
диференціювання.

2.

Тема1: Поняття похідної функції. Основні
правила та формули диференціювання.
Похідна складеної функції
1. Означення похідної
2. Геометричний зміст похідної
3. Механічний зміст похідної
4. Залежність між неперервністю
і диференційовністю функції
5. Основні правила диференціювання
6. Похідні від основних елементарних
функцій.
7. Похідна складеної функції

3.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Поняття похідної є одним з основних понять
математичного аналізу.
Розділ математики, в якому вивчається поняття
похідної та її застосування до дослідження
функцій,
називають
диференціальним
численням.

4.

ОСНОВОПОЛОЖНИКИ
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО
ЧИСЛЕННЯ
І. Ньютон
Г. Лейбніц

5.

Означення похідної
y
y=f(x)
f(x0+ x)
f(x)
f(x0)
0
x0
x
x0+ x x
Графічне зображення приросту
функції і приросту аргументу.
Похідною від функції
y=f(x) за аргументом
х називається границя
відношення приросту
функції до приросту
аргументу,
коли
приріст
аргументу
прямує до нуля:
f ( x0 x) f ( x0 )
f ( x) lim
x 0
x
dy
dx

6.

Означення похідної
(аналітичний вигляд)
f x x f x
y
y lim
lim
x 0 x
x 0
x

7.

ПОЗНАЧЕННЯ ПОХІДНОЇ
y , y x , f x ,
позначення
Лагранжа
dy df x d
,
, f x
dx
dx
dx
позначення
Лейбніца

8.

ЗМІСТ ПОХІДНОЇ
ГЕОМЕТРИЧНИЙ
МЕХАНІЧНИЙ
ЕЛЕКТРИЧНИЙ

9.

Геометричний зміст похідної:
у
Кутовий коефіцієнт дотичної,
проведеної до графіка функції y f ( x )
в точці (х0; у0) дорівнює значенню
похідної в точці х0.
y = f (x)
у0
k = tgα = f /(x0 )
α
о
х0
f ( x0 ) k tg
х

10.

Рівняння дотичної і нормалі до
кривої у = f (х) в точці М (х0 ; у0)
Дотичною до кривої в точці M називається граничне положення січної, якщо точки
січної необмежено наближається вздовж кривої до точки M
Нормаллю до кривої (або поверхні) в заданій точці M називається пряма (або
площина), яка проходить через цю точку і перпендикулярна до дотичної прямої
(або площини) в цій точці кривої (поверхні).

11.

Механічний зміст похідної
функції
Нехай функція
y f ( x) S (t )
описує деякий фізичний процес:
х0 – координата точки
v(t0)- швидкість точки в момент
часу t0
а(t0) – прискорення точки в момент
часу t0

12.

Механічний зміст похідної
функції
S
S (t0 ) (t0 ) lim
t 0 t
S (t0 ) (t0 ) a(t0 )
-
миттєва швидкість
- прискорення
•Миттєва швидкість прямолінійного руху
дорівнює похідній шляху за часом руху
•Похідна від швидкості по часу(або друга
похідна від шляху) є прискоренням

13.

ЕЛЕКТРИЧНИЙ ЗМІСТ
ПОХІДНОЇ
Нехай Q Q(t ) - кількість електрики, яка
пройшла через поперечний переріз
провідника за час t . Сила струму i (t ) в
момент часу t є похідна від кількості
електрики Q(t ) по часу t , тобто
i (t ) Q (t )

14.

Зв’язок між диференційовністю
та неперервністю функції.
Означення. Функція у = f (x) називається
диференційовною на інтервалі (а; b), якщо вона
диференційовна в кожній точці даного інтервалу.

15.

Зв’язок між диференційовністю
та неперервністю функції.
Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції
встановлює теорема.
Теорема. Якщо функція диференційовна в деякій точці,
то у цій точці функція неперервна.
Обернене твердження неправильне: для неперервної функції
може не існувати похідної.
Наслідок. Якщо функція розривна в деякій точці, то вона не
має похідної в цій точці.
Висновок: необхідною умовою диференційовності функції
у = f (х) у точці х є її неперервність у цій точці.

16.

Правила диференціювання
.
Теорема 2. Сталий множник можна виносити за знак
похідної:
(cu)'=cu', де с = const.
Теорема 3. Похідна алгебраїчної суми скінченної
кількості
диференційовних
функцій
алгебраїчній сумі похідних цих функцій:
(u ) u
дорівнює

17.

Правила диференціювання
.
Теорема 4. Похідна добутку двох диференційовних функцій
дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс
добуток другого множника на похідну першого:
(u ) u u
Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції
(знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює
дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну
чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом
знаменника початкового дробу:
u u u
2

18.

Похідні від основних
елементарних функцій
Похідна степеневої функції:
y x
n
y' n x
n
y x
1
y'
2 x

19.

Похідні від основних елементарних
функцій:
Похідна показникової функції
y a
x
y ' a ln a
x
y e
x
y' e
x

20.

Похідні від основних елементарних
функцій:
Похідна логарифмічних функцій
y log a x
y'
x ln a
y ln x
y'
x

21.

Похідні від основних елементарних
функцій
Похідна тригонометричних функцій
y sin x
y ' cos x
y tgx
y'
cos x
y cos x
y ' sin x
y ctgx
y'
sin x

22.

Похідні від основних елементарних функцій:
Похідні від обернених тригонометричних
функцій
y arctgx
y arcsin x
y'
y'
x
x
y arccos
y'
x
y arcctgx
y'
x

23.

Приклади визначення похідної
функції
№1
( y) ( x 2 sin x) ( x 2 ) (sin x) 2 x cos x
№2
1
1
( y ) ( x ln x) ( x ) ln x (ln x) x
ln x x
x
2 x
№3
( y) (
x
( x) cos x (cos x) x 1 cos x ( sin x) x cos x x sin x
)
2
2
cos x
cos x
cos x
cos2 x

24.

Похідна складеної функції

25.

Приклади знаходження
похідних складених функцій
№1
(cos 4 x) sin 4 x (4 x) 4 sin 4 x
№2
2
2
(cos 4 x) 3 cos 4 x (cos 4 x) 12 cos 4 x sin 4 x
3