§1. Дійсні числа
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Поняття функції
Способи задання функції
Способи задання функції
Властивості функцій
Властивості функцій
Властивості функцій
Властивості функцій
Властивості функцій
Властивості функцій
Властивості функцій
Поняття складеної функцій
Елементарні функції
§3. Границя функції
§4. Обчислення границь функцій
§5. Неперервність функції
§1. Похідна
§2. Диференціювання функцій
2.67M
Category: mathematicsmathematics

Дійсні числа

1.

2. §1. Дійсні числа

Глава 4
Вступ до математичного аналізу
§1. Дійсні числа
• 1.1. Множини. Логічні символи
x X,
A a1 , a2 ,..., an
A B
a X
X x1, x2 ,..., xn ,...
A B

3.

1.1. Множини. Логічні символи
Операції над множинами
Множину С, яка містить елементи, кожен з яких належить
множині А або В, називають об'єднанням (сумою) множин А, В
і позначають
C A B
B
A

4.

1.1. Множини. Логічні символи
Операції над множинами
Множину D, що складається з елементів, кожен з яких
одночасно належить множинам А і В, називають перерізом
(добутком) множин А, В і позначають
D A B
A
B

5.

1.1. Множини. Логічні символи
Операції над множинами
Множину Е, що складається з елементів, кожен з яких
належить множині А і не належить множині В, називають
різницею множин А, В і позначають
E A\ B
B
A

6.

1.1. Множини. Логічні символи
Операції над множинами

7.

• 1.2. Множина дійсних чисел


N Z Q R


8.

• 1.3. Числові проміжки. Окіл точки
a, b
a, b
, b
, b
a, b
a, b
a,
a,
a, b
Околом точки x0 називають будь-який інтервал ( , ), що
містить цю точку.
Інтервал (x0 ; x0+ ) називають околом точки x0.

9.

• 1.4. Модуль (абсолютна величина) дійсного
числа
x, x 0;
x 0, x 0;
x , x 0.

10.

§2. Функції

11. Поняття функції

• Головні види відповідності між елементами двох
множин
Сюр’єкція
Y
X
Дідусі
Онуки
Кожному
елементу
множини Y
відповідає
принаймні один
елемент із X.
Відношення

12. Поняття функції

• Головні види відповідності між елементами двох
множин
Ін’єкція
Y
X
Діти
Батько
(мати)
Кожному
елементу
з множини X
відповідає один
елемент із Y.
Функція

13. Поняття функції

• Головні види відповідності між елементами двох
множин
Бієкція
Y
X
Жінки
Чоловіки
(ідеальне моногамне суспільство)
Кожному
елементу
з множини X
відповідає один
і лише один
елемент із Y.
Взаємно
однозначна
функція

14. Поняття функції

4
• Відношення
3
x 2 y 2 9;
2
X x 3 x 3 ;
Y y 3 y 3 .
1
0
-4
-2
-1
-2
-3
-4
0
2
4

15. Поняття функції

• Функція
4
y 9 x2 ;
3
X x 3 x 3 ;
2
Y y 0 y 3 .
1
0
-4
-2
0
2
4

16. Поняття функції

• Взаємно однозначна функція
4
y 9 x2 ;
X x 0 x 3 ;
Y y 0 y 3 .
3
2
1
0
0
1
2
3
4

17. Поняття функції

• Термін «функція» вперше ввів Г. Лейбніц.
Озн. Функцією називається відповідність, при
якій кожному елементу х із множини D
відповідає деякий елемент y із множини E.
D – область визначення функції (позн. D(f));
Е – область значень функції (позн. E(f)).
Якщо D(f) і E(f) – числові множини, то функція
називається числовою.

18. Поняття функції

Озн. Числовою функцією з областю
визначення D називається відповідність,
при якій кожному числу х D відповідає
деяке число y.
Озн. (М. Лобачевського і Л.Діріхле)
Якщо кожному числу х з деякої числової
множини Х за певним правилом
поставлене у відповідність єдине число y,
то кажуть, що у є функцією від х.

19. Поняття функції

y x,
y Arcsin x.
X Y;
f : X Y;
y f ( x ).
f : x y;

20. Способи задання функції

Способи
задання
Аналітичний
Табличний
Формулою
Описом
y x
2
Графічний
Таблицею
Словесний
Графіком
10
х
0
1
2
3
У
0
1
4
9
8
6
4
2
0
-4
-2
0
2
4

21. Способи задання функції

y x , x [0,1];
2
y x , x [2,4].
2
2 x 1, x 0;
y
ln x 1, x 0.

22. Властивості функцій

• Озн. Функцію y = f(x), визначену на
множині Х, називають обмеженою на цій
множині, коли існує таке число М > 0,
що для всіх х Х виконується нерівність
| f(x)|≤ М.

23. Властивості функцій

• Озн. Функція y = f(x) називається
монотонно зростаючою,
строго зростаючою,
монотонно спадною,
строго спадною,
x1, x2 X ( x1 x2 )
якщо для кожної пари
виконується нерівність:
f(x1) ≤ f(x2).
f(x1) < f(x2).
f(x1) ≥ f(x2).
f(x1) > f(x2).

24. Властивості функцій

• Озн. Функція y = f(x) називається
парною,
непарною,
загального вигляду (ні парна, ні непарна),
якщо для кожного x X виконується:
f(–x) = f(x).
f(–x) = – f(x).
не виконується жодна умова.
(область визначення симетрична відносно точки 0)!

25. Властивості функцій

• Озн. Функція y = f(x), визначена на всій числовій
прямій, називається періодичною,
якщо існує таке число Т ≠ 0, що f(x + Т) = f(x).
• Озн. Функція y = f(x), визначена множині Х,
називається періодичною на цій множині,
якщо існує таке число Т ≠ 0, що х + Т Х і
f(x + Т) = f(x).

26. Властивості функцій

• Озн. Під неявним заданням функції
розуміють задання функції у вигляді
рівняння F ( x, y ) 0, нерозв’язаного
відносно залежної змінної.

27. Властивості функцій

• Озн. Функція x ( y ) є оберненою до функції,
якщо: y f (x )
• 1) областю визначення функції є множина
значень функції f;
• 2) множина значень функції є область
визначення функції f;
• 3) кожному значенню змінної y Y відповідає
єдине значення змінної x X.

28. Властивості функцій

• Озн. Задання функціональної залежності
між х і y у вигляді двох функцій
x (t ), y (t )
називають параметричним заданням
функцій.

29. Поняття складеної функцій

y F g (x)
x
u g (x )
y F (u )

30. Елементарні функції

• Озн. Основними елементарними функціями
називаються такі:
• 1. Лінійна функція y ax b, a, b R;
• 2. Степенева функція y x , R;
x
y a , a 0, a 1;
• 3. Показникова функція
• 4. Логарифмічна функція y log a x, a 0, a 1;
y sin x, y tg x;
• 5. Тригонометричні функції
y arcsin x;
• 6. Обернені тригонометричні функції
• інші.
• (Гіперболічні функції
y sh x, y th x. )

31.

32.

33.

34.

35.

36. §3. Границя функції

• 3.1. Числова послідовність
a1 , a2 ,...an ...
b1 , b2 ,...bn ...
an a1 d (n 1)
bn b1 q
n 1
Sn
a1 an n
bn q b1
Sn
q 1
q 1
2
b1
S
1 q
q 1

37.

3.1. Числова послідовність
Якщо кожному натуральному числу п ℕ
за певним правилом ставиться у відповідність
число хп, то множину чисел
x1, x2 , ... xn ...
називають числовою послідовністю (або коротко
послідовністю) і позначають символом {хn}.
xn
xn 2 n 2 1
yn
yn cos n 1
yn f (n)
an
an an 1 an 2
a1 1 a2 1

38.

1
xn
n
1
1 1 1
,...
1, , , ,...,
100
2 3 4
• 3.2. Границя числової послідовності.
Єдиність границі
Число х0 називається границею послідовності {хn},
якщо
для довільного числа ε > 0
існує такий номер N = N (ε),
що при всіх п > N виконується нерівність
xn x0 .
lim xn x0
n
xn x0

39.

3.2. Границя числової послідовності. Єдиність границі
0 N N ( ) : n N xn x0 .
Послідовність, яка має границю, називається
збіжною. Послідовність, яка не є збіжною,
називається розбіжною.
xn
x0
x0
x0
x

40.

• 3.4. Границя функції в точці
Число А називають границею функції у = f (х) в точці
х0, якщо для довільної збіжної до х0 послідовності
{хn}, де хn X, хn х0, послідовність
{f (хn)} має границю, яка дорівнює числу А, і
записують
lim f ( x) A.
x x0

41.

Число А називають границею функції в точці х0,
якщо
для довільного числа ε > 0
існує число δ = δ (ε) > 0,
що при всіх х X, які задовольняють нерівність
0 x x0 ,
виконується нерівність
f ( x) A .
0 ( ) : 0 x x0 f ( x) A .

42.

y
y f (x )
A
A
A
0
x0
x0
x0
x

43.

y
y f ( x)
B
A
x
0
x0
lim f ( x) f ( x0 0) A
x x0 0
lim f ( x) f ( x0 0) B
x x0 0

44.

Приклад
Довести, що
lim 3x 2 5
x 1
0 ( ) : 0 x x0 f ( x) A .
f ( x) A
3x 2 5
3x 3
x 1
3
0 x x0
x 1
3

45.

Приклад
Довести, що
2x 5
lim
2.
x
x
0 M M ( ) :
x M f ( x) A .
f ( x) A
2x 5
2
x
5
2 2
x
5
x
5
x M

46.

Функцію f (х), задану на всій числовій прямій,
при х →x0 називають нескінченно великою і пишуть
lim f ( x)
x x0
M 0 ( M ) 0 : 0 x x0 f ( x) M .
Нескінченно малою величиною називається
змінна величина, границя якої дорівнює нулю.
lim ( x) 0
x x0
lim ( x ) 0
x

47.

Функцію f (х), задану на всій числовій прямій,
при х →∞ називають нескінченно великою і пишуть
lim f ( x )
x
M 0 N N ( M ) 0 :
x N f ( x) M .

48.

• 3.7. Основні теореми про границі
Теорема 1 (про границю суми, добутку і частки).
Якщо кожна з функцій f(х) та φ(х) має скінченну
границю в точці х0, то в цій точці існують також
границі функцій суми, різниці, добутку та частки,
(остання за умови, що знаменник відмінний від
нуля) і справедливі формули
lim f ( x) ( x) lim f ( x) lim ( x);
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) ( x) lim f ( x) lim ( x);
x x0
x x0
f ( x)
f ( x ) xlim
x0
lim
.
x x0 ( x )
( x )
xlim
x
0
x x0

49.

Приклад
Обчислити
lim 5x 13x 5 .
2
x 2
lim 5x 2 13x 5 5 lim x 2 13 lim x lim 5
x 2
x 2
x 2
5 22 13 2 5 20 26 5 1.
x 2

50.

Приклад
Обчислити
x 2 5x 6
lim
.
2
x 3
x 9
x 3 x 2
x 2 5x 6 0
lim
lim
2
x 3 x 3 x 3
x 3
x 9
0
x 2
lim
x 3 x 3
3 2 1
.
3 3 6

51.

( x ) f ( x ) ( x )
x x0
x x0
A
A
A
lim ( x ) A
x x0
lim ( x ) A
x x0
lim f ( x ) A
x x0

52. §4. Обчислення границь функцій

• 4.1. Перша важлива границя
sin x
lim
1
x 0
x
sin kx
lim
k
x 0
x
sin mx m
lim
x 0
nx
n
tg x
lim
1
x 0 x
tg kx
lim
k
x 0
x

53.

Приклад
cos 5 x cos 3x
lim
x 0
x2
2 sin 4 x sin( x )
lim
2
x 0
x
sin 4 x
sin( x )
2 lim
lim
2 4 1 8.
x 0
x x 0
x

54.

• 4.3. Друга важлива границя
x
1
lim 1 e
x
x
1
x
lim 1 x e
x 0
1
nx
k
lim 1 e kn
x
x
e 2,71828
log e a ln a
e x exp( x )

55.

Приклад
1 5 x
2x 1
lim
x 2 x 3
1
1 5 x
4
lim 1
x
2x 3
lim e
x
4
1 5 x
2 x 3
1 5 x
2x 3 3 1
lim
x
2x 3
4
lim 1
x
2x 3
lim e
x
20 x 4
2 x 3
10
e
.
2 x 3 4
1 5 x
4 2 x 3

56.

0
sin ~
tg ~
e 1 ~
a 1 ~ ln a
arcsin ~
arctg ~
2
1 cos ~
2
ln( 1 ) ~
(1 )k 1 ~ k

57.

Приклад
2
1
1 3 4
x4 2 x 1
1
x
x
lim
.
lim 4
2
x 3x x 10 x 5
3
x 3 1 10 5
x2 x3 x4
x 2 x x x 2 x x
lim
x 2x x
lim
x
x
2
2 x x
2
x
lim
x
2
2
2
1.
2
1 1
x
lim
x
2x
x2 2 x x

58. §5. Неперервність функції

• 5.1. Неперервність функції в точці. Точки
розриву
y
y
y (x )
y f (x )
0
x0
x
0
x0
x

59.

Озн. Функція f(х) називається неперервною в точці х0,
якщо границя функції і її значення в цій точці рівні, тобто
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
(23)
1. Функція визначена в точці х0 і в деякому околі цієї точки;
2. Існує границя lim f ( x );
x x0
3. Границя функції f(х) в точці х0 і значення функції в цій
точці х0 збігаються, тобто виконується рівність (23).

60.

lim f ( x) f ( x0 )
x x0
f ( x) f ( x0 ) 0
x x 0
lim
0
lim f ( x ) 0
x 0

61.

lim f ( x) f ( x0 )
x x0 0
lim f ( x) f ( x0 )
x x0 0
lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 )
x x0 0
lim f ( x) f ( x0 0)
x x0 0
x x0 0
(26)
lim f ( x) f ( x0 0)
x x0 0

62.

Озн. Якщо для функції f(х)
існують скінченні границі
Розрив першого роду
lim f ( x) f ( x0 0)
x x0 0
y
lim f ( x) f ( x0 0)
y f (x )
f ( x0 )
f ( x0 0)
f ( x0 0)
0
x x0 0
причому не всі числа
f ( x0 0),
x0
– стрибок
x
f ( x0 0),
рівні між собою,
то розрив в точці х0
називають розривом
першого роду,
точку х0 — точкою
розриву першого роду.
f ( x0 )

63.

Розрив першого роду
(усувний розрив)
Озн. Якщо
f ( x0 0) f ( x0 0) f ( x0 )
y
y f (x )
f ( x0 )
f ( x0 0)
f ( x0 0)
0
x0
0
x
то розрив в точці х0
називають усувним,
а точку х0 — точкою
усувного розриву.

64.

Розрив другого роду
Озн. Якщо хоча б одна
з односторонніх границь
у формулі (26) не існує або
дорівнює нескінченності,
то розрив в точці х0
називається розривом
другого роду,
а сама точка х0 — точкою
розриву другого роду.
y
y f (x )
0
x0
x

65.

• 5.2. Дії над неперервними функціями.
Неперервність елементарних функцій
Теорема. Якщо функції f(х) і φ(х) неперервні в точці х0 , то в
цій точці неперервними є функції
f ( x ) ( x ),
f ( x ) ( x ),
f ( x)
.
( x )
Теорема. Всяка елементарна функція неперервна в кожній
точці, в якій вона визначена.

66.

• 5.3. Властивості функцій, неперервних на
відрізку
Озн. Якщо функція неперервна в кожній точці інтервалу (a; b),
то вона називається неперервною на цьому інтервалі.
Теорема. (перша теорема Больцано-Коші). Якщо функція
f(х) неперервна на відрізку [a; b] і на його кінцях набирає
значень різних знаків, то всередині відрізка [a; b] знайдеться
хоча б одна точка х = с, в якій функція дорівнює, нулю: f(с) = 0,
a < с < b.
y
y f (x )
a
0
b
c
x

67.

Теорема. (друга теорема Больцано-Коші). Нехай функція
неперервна на відрізку [a; b] і набуває, на його кінцях різних
значень: f(a) = A, f(b) = В, А В. Тоді для довільного числа
(А; В) знайдеться таке число с (a; b), що f(с) = .
y f (x )
y
B
0 a
A
c
b
x

68.

Теорема. (Вейєрштрасса). Якщо функція f (х) неперервна на
відрізку [a; b], то серед її значень на цьому відрізку існує
найменше і найбільше.
y
y f (x )
M
0
m
a
b
x

69. §1. Похідна

Глава 5
Диференціальне числення
функцій однієї змінної
§1. Похідна
• 1.1. Задачі, які приводять до поняття похідної
Задача про швидкість прямолінійного руху
M
O
S (t )
S (t t )
M1
S (t )

70.

M
O
S (t )
S (t t )
S S (t t ) S (t )
S
v c t
S ( t t ) S ( t )
v lim
t 0
t
M1
S (t )

71.

• 1.2. Означення похідної. Механічний, фізичний та
геометричний зміст похідної
Озн. Похідною функції у = f (х) в точці х називається
границя відношення приросту функції ∆у в цій точці до
приросту аргументу ∆х, коли приріст аргументу прямує
до нуля.
y
f ( x x ) f ( x )
f ( x ) lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
y
dy
dx
f (x )

72.

Приклад
Знайти похідну функцію
y x
2
y x x x 2 2 x x x 2
2
y 2 x x x 2
2 x x
x
x
y
lim
lim 2 x x 2 x
x 0 x
x 0
x 2 x
2

73.

y
y f (x )
f (x 0 x )
y
f (x 0 )
x
0
x0
x 0 x
x

74.

Швидкість в даний момент часу — це похідна від
пройденого шляху S(t) за часом t: v = S′(t).
Це механічний зміст похідної. Узагальнюючи, можна
сказати: якщо функція у = f (х) описує деякий фізичний
процес, то похідна у' = f' (х) є швидкістю зміни цього
процесу. В цьому полягає фізичний зміст похідної.
Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у = f (х) в точці
М0(х0; у0) або тангенс кута α, що утворює дотична до
кривої в даній точці з додатним напрямом осі Ох,— це
похідна f' (х0) в цій точці:
k = tg α = f' (х0).
У цьому полягає геометричний зміст похідної.

75.

y
Рівняння дотичної
y f (x )
y y0 f ( x0 ) x x0
Рівняння нормалі:
1
x x0
y y0
f ( x0 )
0
x0
x

76.

• 1.4. Односторонні похідні. Неперервність і
диференційовність
Права похідна
y
f ( x x ) f ( x )
f ( x ) lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
x 0
x 0
Ліва похідна
y
f ( x x ) f ( x )
f ( x ) lim
lim
.
x 0 x
x 0
x
x 0
x 0

77.

Озн. Функція f (х) називається диференційовною
в точці х0, якщо в цій точці вона має похідну f '(х).
Озн. Функцію f (х) називають диференційовною
на проміжку, якщо вона диференційовна в кожній точці
цього проміжку.
Теорема. Якщо функція f (х) диференційовна в точці х0,
то вона в цій точці неперервна.

78. §2. Диференціювання функцій

Cu Cu
u v
u v
uv u v uv
y f (u), u u( x) y x yu u x
1
y f ( x ), x ( y ) y x
x y
yt
y y (t ), x x (t ) y x
xt
u u v uv
v
v
v 1
u
u
ln
u
v
vu
u
2
v
v
uvw u vw uv w uvw

79.

1. C 0
2. u u 1u
u
3. a a u ln au
u
u
4. e e u
1
5. log a u
u
u ln a
1
6. ln u u
u
7. sin u cos u u
8. cos u sin u u
1
9. tg u
u
2
cos u
1
10. ctg u 2 u
sin u
11. sh u ch u u
12. chu sh u u
1
13. th u 2 u
ch u
1
14. cth u 2 u
sh u
1
15. arcsin u
u
1 u2
1
16. arccos u
u
2
1 u
1
17. arctg u
u
2
1 u
1
18. arcctg u
u
2
1 u

80.

1
ln y y
y
y y ln y
Приклад
Знайти похідну функцію y x
1.
2.
3.
sin5 x
ln y ln x sin5 x sin 5x ln x
ln y sin 5x ln x
sin 5 x ln x sin 5 x ln x
1
5 cos 5 x ln x sin 5 x
x
y y ln y x sin5 x 5 cos 5 x ln x sin 5 x 1 .
x

81.

1
1
2;
x
x
x 2
1
x
.
e x e x
sh x
2
e x e x
ch x
2
e x e x
th x x x
e e
ch 2 x sh 2 x 1
sh 2 x 2 sh x ch x
English     Русский Rules