ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Визначення функції
Способи задання функції
Властивості функцій
Властивості функцій
Елементарні функції
Елементарні функції
Елементарні функції
Елементарні функції
Елементарні функції
ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ
Теореми про границі функції
Приклади визначення границі функції
141.50K
Category: mathematicsmathematics

Диференціальне числення. Визначення функції ( лекція 1.1)

1. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Лекція 1.1

2. Визначення функції

X
x1
y1
x2
x3
• Якщо кожному елементу х з
множини Х по визначеному
Y
закону чи правилу ставиться у
відповідність один і тільки один
елемент у з множини У, то
y
говорять що на множині Х задана
функція y=f(х).
• Змінна х називається незалежною
змінною або аргументом,
• у – залежною, або значенням
функції.
2
y3

3. Способи задання функції

• Табличний спосіб.
• Графічний спосіб .
• Аналітичний спосіб задання функції (за допомогою
формули). У загальному вигляді: y f (x.)
Наприклад:
n
y
x
• - степенева функція
,;
• - лінійна функція y ax b ;
• - показникова функція y a x ;
• - логарифмічна функція y log a x ;
• - тригонометричні функції:
y sin x ;
y cos x ;
y tgx;
y ctgx

4. Властивості функцій

1.
Множина усіх значень Х називається областю визначення функції
D(f), а множина значень У, називають множиною значень функції
E(f).
2.
Функція , називається парною, якщо для будь-якого значення
аргументу х з області визначення функції виконується рівність:
f ( x) f ( x)
Функція , називається непарною, якщо для будь-якого значення х з
області визначення функції виконується рівність:
f ( x) f ( x)
3.
Функція називається монотонно зростаючою на всій області
визначення (чи на інтервалах), якщо для будь-якого значення х з
області визначення функції (чи з інтервалу) виконується нерівність
x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
x
Якщо за тих же умов виконується нерівність: 1
тоді функція називається монотонно спадною.
x2 f ( x1 ) f ( x2 )

5. Властивості функцій

y
y=f(x)
а
На інтервалах
в точках
точки
x1
x2
x3
x4
x5
b
x
a; x2 , x4 ; b функція y=f(x) зростає, на інтервалі x 2 ; x 4 спадає;
x x2
- максимум, x x4
x x1 , x x3 , x x5
- мінімум;
- точки перегину.

6. Елементарні функції

Степенева функція
y
y x2
0
Степенева функція y=xn,
де n – парне натуральне
число.
y xn
y x3
y
x
0
Степенева функція y=xn,
де n – непарне натуральне
число.
x

7. Елементарні функції

Степенева функція: y x n
y
y
y x
0
Степенева функція y=xn,
де n=-(2k+1),
3
y x 2
x
0
Степенева функція y=xn,
де n=-2k

8. Елементарні функції

Лінійна функція: y kx b , де k і b будь-які постійні числа.
(2)
y
(1)
y=kx+b
b
0
x
Графік функції у=kx+b перетинає вісь Ox в точці х=-k/a, вісь Oy в
точці y=b.
Два випадки: (1) a>0; (2) a<0.

9. Елементарні функції

Показникова функція: y a x, де а - додатне
стале число, відмінне від одиниці .
y
(1)
y (1/ 2)
(2)
y 2x
x
1
0
x
Графік функції y a
Випадки: (1) 0<а<1, (2) a>1.
x
.

10. Елементарні функції

Логарифмічна функція: y log a x , де - а
додатне стале число.
y
(2)
1
0
y=x
1
y log 2 x
Графіки функції y log a x
(1) 0<a<1,
(2) a>1.
x
(1)
y log 1 / 2 x

11. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ

Число А називається границею функції f(x) при х, що прямує до
а (х а), якщо для будь-якого як завгодно малого числа 0
0
знайдеться таке мале число
, що для всіх х, які
задовольняють умову x a
, виконується нерівність
.
f ( x) A
• Границю функції записують у вигляді:
lim
f
(
x
)
A
x a
y
f(а)
A
А
A
0
a
а
a
x
Графічне зображення значення
функції f(a) та границі функції A в
точці а.

12. Теореми про границі функції

1) lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a
x a
x a
2) lim ( f ( x) g ( x)) lim f ( x) lim g ( x)
x a
x a
x a
f ( x)
f ( x) lim
x
a
3) lim
x a g ( x)
lim g ( x)
, (lim
g ( x) 0)
x a
x a
sin x
1
x 0
x
4) lim
x
1
5) lim 1
x
x
lim (1 x)
x 0
1
x
e 2,71828 ....

13. Приклади визначення границі функції

№1
( x 6)( x 2)
x 2 6 2 4
x 2 8x 12
62 8 6 12 0
lim
lim
lim 2
lim 2
( )
x 6 x 7 x 6
x 6 6 7 6 6
x
6
x
6
0
( x 6)( x 1)
x 1 6 1 5
№2
3 5
3
5
3 5
3 5
1
1
)
1
2
2
2
2
1
x 2 3x 5
x
x
x
x
x
x
lim
lim 2
lim
lim
x
x 3 x 2 x 6
x 2
x
2 6
2
6
2 6
2 6
x (3 2 )
3 2
3 2 3 2 3
x x
x x
x x
x 2 (1
№3
sin 5x
5 sin 5x
sin 5x
1
lim
5 lim
x 0 x cos x
x 0 5 x cos x
x 0
5x
cos x
sin 5x
1
5 lim
lim
5 1 1 5.
x 0
x 0 cos x
5x
lim
English     Русский Rules