Свойства дифференциалов
Независимость от вида переменной
Методы интегрирования
Табличный метод
Пример (табличный, с использованием свойства)
Пример (табличный, с использованием свойства)
Метод разложения
Пример (метод разложения)
Пример (метод разложения)
Пример (метод разложения)
Пример (метод разложения)
Метод подведения функции под знак дифференциала
Метод подведения функции под знак дифференциала
Пример (метод подведения под знак дифф-ла)
Пример (метод подведения под знак дифф-ла)
Метод замены переменной
Интегрирование по частям
Примеры
Примеры
Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен
Пример
Пример
Дополнительно: Таблица неопределенных интегралов
528.50K
Category: mathematicsmathematics

Свойства дифференциалов

1. Свойства дифференциалов

1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx ,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

2. Независимость от вида переменной

При вычислении интегралов удобно
пользоваться следующими свойствами
интегралов:
Если f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Если f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a

3. Методы интегрирования

1. Табличный.
2. Разложения.
3. Подведение функции под знак
дифференциала.
4. Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
5. Интегрирование по частям.

4. Табличный метод

Вычисление интеграла производится
непосредственно по формулам.
Для
проверки
правильности
результата
интегрирования надо продифференцировать
результат и получить подынтегральную
функцию.

5.

Интегрирование является операцией,
обратной дифференцированию.
7 1
8
x
x
1. x dx
C
C
7 1
8
7
x
5
2. 5 dx
C
ln 5
x

6. Пример (табличный, с использованием свойства)

Пример . Вычислить cos 5xdx .
Решение. В таблице интегралов найдем
cos xdx sin x C .
Преобразуем данный интеграл к табличному,
воспользовавшись тем, что d ax adx .
Тогда:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5 x
5
5
1
= sin 5 x C .
5

7. Пример (табличный, с использованием свойства)

1
5
( 2 3x ) dx 3 ( 2 3x ) d ( 2 3x )
6
1 ( 2 3x )
C.
3
6
5

8. Метод разложения

Метод применим, когда подынтегральная функция
представима в виде линейной комбинации других
функций, причем интегралы от каждой из этих
функций являются табличными.
Применяя свойства, получаем:
f ( x )dx Af 1 ( x )dx Bf 2 ( x )dx
A f1 ( x )dx B f 2 ( x )dx F1 ( x ) F2 ( x ) C

9. Пример (метод разложения)

x 3x x 1 dx .
2
3
Решение. Так как под знаком интеграла
находится сумма четырех слагаемых, то
раскладываем интеграл на сумму четырех
интегралов:
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx
3
4
2
x
x
x
3
x C
3
4
2

10. Пример (метод разложения)

1. (3x 6 x 5)dx 3x dx 6 x dx 5dx
4
2
4
2
3 x dx 6 x dx 5 dx
4
2
3 5 6 3
3 5
3
x x 5x C x 2 x 5x C
5
3
5

11. Пример (метод разложения)

2. (5 cos x 6e x )dx 5 cos xdx 6e x dx
5 cos xdx 6 e dx 5 sin x 6e C
x
x

12. Пример (метод разложения)

2 x 3x 4 x x
2x
3x
4x x
3.
dx ( 3 3
)dx
3
3
x
x
x
x
3
3
2
1,5
2
1,5
( 2 x x 4 x )dx 2 x dx x dx 4 x dx
5
2
5
2
3
1
x
1,5
2 x dx 3 dx 4 x dx 2 3 ln | x |
x
3
x 0 , 5
2 3
8
4
C x 3 ln | x |
C
0,5
3
x
2

13. Метод подведения функции под знак дифференциала

Свойства позволяют значительно расширить
таблицу основных интегралов с помощью приема
подведения функции под знак дифференциала.
Рассматриваемый метод применим в случае, если
подынтегральную функцию можно представить в
виде произведения двух функций:
f ( ( x)) ( x)

14. Метод подведения функции под знак дифференциала

где f и φ -некоторые функции, причем интеграл от
функции f является табличным.
Выражение (x ) легко внести под знак дифференциала
(для этого его надо проинтегрировать): ( x )dx d ( ( x ))
При этом получается, что и в аргументе функции f и под
знаком дифференциала стоит одно и тоже выражение (x )
ò .å.
f ( ( x ))d ( ( x ))
Пользуясь свойством, получаем
f ( ( x))d ( ( x)) F ( ( x)) C

15. Пример (метод подведения под знак дифф-ла)

x cos x dx
2
3
Преобразуем заданный интеграл с учетом того, что
3
x
1 3
2
x dx d
dx
3 3
Получим:
3
x
x cos x dx cos x x dx cos x d 3
1
1
3
3
3
cos x dx sin x C
3
3
2
3
3
2
3

16. Пример (метод подведения под знак дифф-ла)

1
dx
cos(arcsin x )
2
1 x
Преобразуем заданный интеграл с учетом того, что
1
1 x2
Получим:
cos(arcsin x )
1
dx d arcsin x
dx cos(arcsin x )d arcsin x
1 x2
sin(arcsin x ) c x c

17. Метод замены переменной

Основная
идея
метода
замены
переменной заключается во введении
вместо переменной интегрирования x
новой переменной t таким образом, чтобы
преобразовать заданный для вычисления
интеграл к табличному виду.

18.

Метод замены переменной
x
å dx
dt
x
cos2 e x 1 cos2 t tg t C tg e 1 C
Ïóñòü e 1 t ,
d ( e x 1) dt,
x
(
e
1) dx dt,
òîãäà dt e x dx
x
.

19.

метод замены переменной
1
2
3
2
1
1 t
1 2
2
x 3x 1 dx 6 t dt 6 3 C 9 3x 1
2
2
Ïóñòü 3 x 1 t ,
2
d (3 x 1) dt,
2
dx dt,
(
3
x
1
)
òîãäà
6 õ dx dt
1
è
õ dx dt
6
3
2
C

20.

Интегрирование методом замены переменной.
6
sin 2 x dx
1 7
1 t
1
cos7 2 x 2 t dt 2 6 C 12 cos6 2 x C
Ïóñòü cos 2 x t ,
d (cos 2 x ) dt,
(cos 2 x ) dx dt,
òîãäà 2 sin 2 xdx dt
1
è
sin 2 x dx dt
2

21.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом замены переменной.
t2 1
1 4 2
1 5 1 3
x 2 x 1 dx 2 t t dt 2 t t dt 10 t 6 t C
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Ïóñòü
2 x 1 t,
2
2
( 2 x 1) t ,
2
2
x
1
t
t2 1
,
òîãäà x
2
dx t dt
.

22.

метод замены переменной
x dx
2 t
2. 3
2 x
2
3t dt 3 4t 4t
t
3 2
2
6 2 x
2
t 7 dt
12 5 3 8
6t t t C
5
8
12
3
2
23
2
3
2 x 2 x 2 x 2 x C.
5
8
2
3
4
Ïóñòü 3 2 x t ,
òîãäà x 2 t 3 ,
ò . å. dx 3t 2 dt

23.

Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
1
1
1
1. sin 3x cos x sin 4 x sin 2 x dx cos 4 x cos 2 x C.
2
8
4
dx
cos 2 5 x sin 2 5 x dx
1
1
2. 2
2
dx
2
2
2
2
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
1
1
ctg 5 x tg 5 x C.
5
5
x 4 3x 2 1
1
1 3
2
3.
dx x 2 2 dx x 2 x arctg x C.
2
x 1
x 1
3

24. Интегрирование по частям

Этот метод основан на формуле udv uv vdu .
Методом интегрирования по частям берут такие интегралы:
а) x n sin xdx , где n 1,2...k ;
б) x n e x dx , где n 1,2...k ;
в) x n arctgxdx , где n 0, 1, 2,... k . ;
г) x n ln xdx , где n 0, 1, 2,... k .
При вычислении интегралов а) и б) вводят
n 1
обозначения: x n u , тогда du nx dx , а, например
sin xdx dv ,тогда v cos x .
При вычислении интегралов в), г) обозначают за u функцию
arctgx , ln x , а за dv берут x n dx .

25. Примеры

Пример. Вычислить x cos xdx .
Решение.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

26. Примеры

Пример. Вычислить
x ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x 2 dx
x2
ln x
=
2 x
2
1 x2
x2
1
x2
C .
ln x
ln x xdx
=
2 2
2
2
2

27. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл
ax b
dx ,
x px q
содержащий квадратный трехчлен в
знаменателе подынтегрального
выражения. Такой интеграл берут также
методом подстановки, предварительно
выделив в знаменателе полный
квадрат.
2

28. Пример

Вычислить
dx
.
x 4x 5
Решение. Преобразуем x 2 4 x 5 ,
2
выделяя полный квадрат по формуле a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тогда получаем :
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.

29. Пример

Найти
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln( x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

30. Дополнительно: Таблица неопределенных интегралов

dx
arcsin x C . 16.
11.
12.
dx
1
x
a 2 x 2 a arctg a C .
13.
dx
a2 x2
arcsin
x
C ..
a
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
19.
dx
1
a x
ln
a 2 x 2 2a a x C .
20.
14.
15.
1 x
2
dx
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C .
2
sh x
English     Русский Rules