Лекция 17-18 Свободные колебания системы с бесконечным числом степеней свободы
Свободные колебания системы с бесконечным числом степеней свободы
Решение дифференциального уравнения свободных колебаний
Ортогональность главных форм колебаний
Метод начальных параметров
Круговые функции
Собственные колебания для однопролетной балки
Частоты собственных колебаний для различных условий закреплений
Приближенные методы определения частот собственных колебаний
176.50K
Category: physicsphysics

Свободные колебания системы с бесконечным числом степеней свободы

1. Лекция 17-18 Свободные колебания системы с бесконечным числом степеней свободы

Содержание
1.Свободные колебания балки с
распределенной массой.
2. Решение дифференциального
уравнения.
3. Ортогональность главных форм
колебаний

2. Свободные колебания системы с бесконечным числом степеней свободы

4 y
2 y
EI 4 m( x) 2 0
x
t

3. Решение дифференциального уравнения свободных колебаний

y ( x, t ) y k ( x, t ) y k ( x)Tk (t ),
k 1
k 1
k 1
k 1
EI ( y k( IV ) ( x)) m( x)( y k ( x)Tk// (t )) 0
4 y k ( x)
2Tk (t )
EI
Tk (t ) m( x) y k ( x)
0,
4
2
x
t
IV
k
//
k
EIy ( x)
T (t )
k2
m( x) y k ( x)
Tk (t )
k 1,2,3,.......
y kIV ( x ) s k4 y k ( x) 0,
k 1,2,3,....
m( x ) k2
s
EI
4
k
y ( x, t ) y k ( x)Tk (t ),
k 1
y k ( x) Ach( s k x) Bsh ( s k x) CCos( s k x) DSin ( s k x),
Tk (t ) Ak Sin k t Bk Cos k t ,
y ( x, t ) ( Ach( s k x) Bsh ( s k x) CCos( s k x) DSin ( s k x)) ( Ak Sin k t Bk Cos k t )
k 1

4. Ортогональность главных форм колебаний

l
q
l
k
y i ( x)dx qi y k ( x)dx,
0
0
l
m
l
2
k
y k y i dx m i2 y i y k dx 0,
0
0
l
m(
0
2
k
i2 ) y k y i dx 0,
так
l
my
0
k
y i dx 0,
если
i k
как
k i ,

5. Метод начальных параметров

y k ( x) Ach( s k x) Bsh ( s k x) CCos( s k x) DSin ( s k x),
y k/ ( x) s k Ash( s k x) s k Bch ( s k x) s k CSin ( s k x) s k DCos ( s k x),
y k// ( x) s 2 k Ach( s k x) s 2 k Bsh ( s k x) s 2 k CCos( s k x) s 2 k DSin ( s k x),
y k/// ( x) s 3 k Ash( s k x) s 3 k Bch ( s k x) s 3 k CSin ( s k x) s 3 k DCos ( s k x)
sk
4
m k2
EI
y k/ (0)
M (0)
Q (0)
y k ( x) y k (0) Ask x
Bsk x 2 k C sk x 3k Dsk x ,
sk
s k EI
s k EI
y k/ ( x) s k y k (0) Dsk x y k/ (0) Ask x
M k (0)
Q (0)
Bsk x 2k C sk x ,
s k EI
s k EI
M k ( x) y k// ( x) EI s 2 k y k (0) EIC sk x s k y k/ (0) EIDsk x M k (0) Ask x
Qk (0)
Bsk x ,
sk
Qk ( x) y k/// ( x) EI s 3 k y k (0) EIBsk x s 2 k y k/ (0) EIC sk x s k M k (0) Dsk x Qk (0) Ask x

6. Круговые функции

ch( sk x) Cos( sk x)
Ask x
,
2
ch( sk x) Cos( sk x)
C sk x
,
2
sh( sk x) Sin ( sk x)
Bsk x
,
2
sh( sk x) Sin ( sk x)
Dsk x
2
k sk l ,
sk
4
m
EI
2
k
k s
2
k
EI
m

7. Собственные колебания для однопролетной балки

k 2 2
k 2
l
EI
,
m
k 1,2,3,....

8. Частоты собственных колебаний для различных условий закреплений

Заделка с двух
сторон
Один
конец
защемлен,
другой – свободен
Один конец защемлен,
другой – шарнирно оперт
4,7 2
1 2
l
EI
m
1,87 2
1 2
l
EI
m
3,9 2
1 2
l
EI
m

9. Приближенные методы определения частот собственных колебаний

Формула Дункерлея
1
2
n
i 1
1
2
i
1
i
2
0
g
y ст
1
m 11
1
2
0
m( x) ii ( x)dx
Метод Рэлея
2 П м акс
2
n
l
M i X ( xi ) m( x) X ( x) dx
i 1
2
2
0
l
0
English     Русский Rules