Обратные тригонометрические функции

1.

Университетский лицей №1523
Предуниверситария НИЯУ МИФИ
Лекции по алгебре и началам анализа
10 класс
© Хомутова
Лариса Юрьевна

2.

Обратные
тригонометрические
функции

3.

I. Понятие обратной функции
Функция y f (x) , определенная на промежутке Х, называется
обратимой, если любое свое значение она принимает только в
y
одной точке промежутка Х.
y
a
a
0
b
0
b
x
x
Функция y f (x) не обратима на a; b
Функция y f (x) обратима на a; b

4.

Теорема. Если функция y f (x) строго монотонна на промежутке Х, то она
обратима на этом промежутке.
Доказательство.
Пусть функция y f (x) возрастает на Х, тогда по определению
возрастающей функции
x1 , x2 : x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
т.о. различным значениям аргумента соответствуют различные значения
функции, т.е. функция обратима.

5.

Пусть обратимая функция y f (x) определена на промежутке Х, а
областью значений ее является промежуток Y. Поставим в соответствие
каждому y Y то единственное значение x X , при котором y f (x.)
Тогда получим функцию, которая обозначается
x f
1
( y)
и называется обратной по отношению к функции y f (x)
.
Обычно для обратной функции делают переход к привычным обозначениям,
т.е. аргумент обозначают буквой х, а значение функции y.
Поэтому вместо
x f
1
( y ) пишут y f 1 ( x)
Замечание. Графики взаимообратных функций симметричны относительно
прямой y x

6.

Алгоритм получения обратной функции
1) Убедиться в том, что функция
2) Из уравнения y f (x)
y f (x) обратима на Х.
выразить х через y.
3) В полученном равенстве поменять местами х и y.
Свойства обратной функции
1)
D( f ) E ( f 1 ); E ( f ) D( ;f 1 )
2) Если функция y f (x) возрастает (убывает) на
y f 1 ( x) возрастает (убывает) на D( f 1 )
3)
f 1 ( f ( x)) x, x D( f )
;
D ( f ) , то и функция

7.

II. Обратные тригонометрические функции
x
2 ; 2 функция y sin x строго возрастает,
На промежутке
следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции y sin x
на этом промежутке. Эту функцию обозначают y arcsin x .

8.

y = arcsin x

9.

y = arcsin x
D y 1; 1;
1) Область определения
2) Область значений
E y 2; 2 ;
3) Функция нечетная
arcsin x=-arcsin (-x) ;
4) Функция не является периодической ;
5) Функция возрастает на
D(y);
,
6) Точки пересечения с осями: х=0,
y=0;
7) Промежутки знакопостоянства arcsin x>0 при
8) Наибольшее значение y
2
arcsin x<0 при x 1; 0
при х=1,
наименьшее значение y
9) Ассимптот нет ;
x 0; 1
2
при
х=-1;

10.

II. Обратные тригонометрические функции
На промежутке x 0; функция y cos x строго убывает,
следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции y cos x
на этом промежутке. Эту функцию обозначают y arccos x .

11.

y = arccos x

12.

y = arccos x
D y 1; 1;
1) Область определения
2) Область значений
E y 0;
;
3) Функция не обладает определенной четностью;
4) Функция не является периодической ;
5) Функция убывает на
D(y);
,
6) Точки пересечения с осями: 1) х=0, y
2
; 2) y=0, x=1
7) Промежутки знакопостоянства arccos x>0 при
8) Наибольшее значение
y
при х=-1,
наименьшее значение y=0 при
9) Ассимптот нет .
x [ 1;1]
х=-1;

13.

II. Обратные тригонометрические функции
x
;
На промежутке
2 2
функция y tgx строго возрастает,
следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции y tgx
на этом промежутке. Эту функцию обозначают
y arctgx .

14.

y = arctg x

15.

y = arctg x
1) Область определения D(y)=R ;
2) Область значений
E y 2; 2
3) Функция нечетная arctg
;
x=-arcctg (-x) ;
4) Функция непериодическая ;
5) Функция возрастает на
D(y);
,
6) Точки пересечения с осями: х=0,
y=0;
7) Промежутки знакопостоянства arctg x>0 при
x 0;
arctg x<0 при x ;0
8) Наибольшего и наименьшего значений не существует ;
9) Горизонтальные асимптоты y
2
;

16.

II. Обратные тригонометрические функции
На промежутке x 0; функция y ctgx строго убывает,
следовательно можно рассмотреть функцию обратную к функции y ctgx
на этом промежутке. Эту функцию обозначают y arcctgx .

17.

y = arcctg x

18.

y = arcсtg x
1) Область определения D(y)=R ;
2) Область значений
E y 0; ;
3) Функция не имеет определенной четности ;
4) Функция непериодическая ;
5) Функция убывает на
D(y);
,
6) Точки пересечения с осями: х=0, y
2
;
7) Промежутки знакопостоянства arcсtg x>0 при
x R ;
8) Наибольшего и наименьшего значений не существует ;
9) Горизонтальные асимптоты y 0;
y .

19.

Смысловые значения записей
arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrcsin
;
a – это угол из промежутка 2 2 , синус которого равен а.
arcsin a , ; sin a
2 2
а
1 5
arcsin
2 6
6
2
3 5
arcsin(
)
2
4
4
4

20.

Смысловые значения записей
arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
0; , косинус которого равен а.
arccos a , 0; cos a
аrccos a – это угол из промежутка
а
1
2 4
arccos( )
2
3
3
arccos
3
2
6
6

21.

Смысловые значения записей
arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrctg a – это угол из промежутка 2 ; 2 , тангенс которого равен а.
arctg a , ; tg a
2 2
arctg1
4
5
4
а
arctg (
3
5
)
3
6
6

22.

Смысловые значения записей
arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a
аrcсtg a – это угол из промежутка
0; , котангенс которого равен а.
arcctg a , 0; ctg a
а
arcctg1
4
3
4
arcctg (
3
2
)
3
3
3

23.

Основные свойства обратных
тригонометрических функций
arcsin x arcsin x
arctg x arctgx
arccos x arccos x
arcctg x arcctgx
arcsin x arccos x 2
arctgx arcctgx 2