Линейная алгебра

1. Краткий курс лекций по математике

2.

В настоящее время в условиях рыночных
преобразований в экономике возрастает роль
экономико-математических методов.
Математический инструментарий становится
неотъемлемой частью экономической науки.
Автор
данного
курса
лекций
руководствовался
принципом
повышения
уровня
фундаментальной
математической
подготовки
студентов
с
усилением
ее
прикладной экономической направленности.

3.

Раздел 1.
Линейная алгебра.
Линейна
алгебра
является
необходимым
инструментарием для компактного и эффективного
описания
и
анализа
экономико-математических
моделей и методов.

4.

Тема 1. Матрицы.
Понятие матрицы и основанный на нем раздел
математики – матричная алгебра – имеет важное значение
для экономистов, так как значительная часть математических
моделей экономических объектов может быть записана в
компактной матричной форме.
Матрицей размера m n или mn - матрицей называется
прямоугольная таблица чисел.
Матрица содержит m строк и n столбцов.
Матрицы
обозначаются
прописными
латинскими
буквами.

5.

Матрица записывается следующим образом:
a11
a21
A
...
am1
или
Am n (aij )
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
где
aij
a12
a22
...
- элемент матрицы.
j Первый индексi - это номер строки, второй
индекс номер столбца, где расположен элемент.

6.

Виды матриц.
1. Если в матрице число строк не равно числу столбцов, то
матрица называется прямоугольной матрицей.
2. Если в матрице число строк равно числу столбцов, то
матрица называется квадратной матрицей.
3. Матрица строка
A (a1 a2 ... an )
4.Матрица столбец
a1
a2
A
...
an

7.

5. Матрица, все элементы которой равны нулю называется
нулевой матрицей.
0
0
0
...
0
0 ... 0
0 ... 0
... ... ...
0 ... 0
6. Квадратная матрица называется диагональной, если все
элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны
нулю.
a11 0 ... 0
0
a
...
0
22
A
... ... ... ...
0 ... ann
0

8.

7.
Диагональная матрица, у которой все элементы
главной диагонали равны единице, называется единичной
матрицей и обозначается символом Е.
1
0
E
...
0
0 ... 0
1 ... 0
... ... ...
0 ... 1

9. Операции над матрицами.

1. Суммой двух матриц А и В одинакового размера
называется матрица той же размерности, элементы которой
равны сумме соответствующих элементов матриц.
a11 a12 a13 b11 b12 b13
A B
a21 a21 a23 b21 b22 b23
a11 b11 a12 b12 a13 b13
a21 b21 a22 b22 a23 b23
2 ( 4) 4 1 5 6 5
3 2 4 2 4 1 3 2
3 ( 4) 5 0 4 1 5
C A B 1 3 5 5 4 0 1 5
1 7 5 2 3 1 1 ( 2) 7 ( 3) 5 1 1 4 4

10.

2. Произведением матрицы А и числа называется матрица
той же размерности, все элементы которой умножаются на
это число:
a11 a12 a13
A
a
a
a
21 21 23
1 0 2 3 1 0 3 3 2 3 0 6
A 3 2 1 0 3 2 3 1 3 0 6 3 0
0 2 1 3 0 3 2 3 1 0 6 3

11.

3. Произведением матрицы размерности m n и матрицы
размерности n k называется матрица размером m k ,
элементы которой равны сумме произведений элементов строки матрицы, стоящей на первом месте
на
соответствующие элементы столбца матрицы, стоящей на
втором месте.
a11 a12
A B
a21 a22
b11 b12
a13
b
b
21 22
a23
b
b
31 32
a11 b11 a12 b21 a13 b31 a11 b12 a12 b22 a13 b32
a21 b11 a22 b21 a23 b32 a21 b12 a22 b22 a23 b32

12.

Произведение существует в том случае, если число столбцов первой
матрицы равно числу строк второй матрицы.
Размер матрицы произведения равен m k
Например, даны две матрицы
1 2
A
3
1
2 1
B 0 3
1 1
Произведение матрицы А на матрицу В неопределено, так как число
столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы, однако,
произведение матрицы В на матрицу А определено
2 2 1 1 5 5
2 1
2 1 1 3
1 2
B A 0 3
0
1
3
3
0
2
3
1
9
3
3
1
1 1
1 1 ( 1) 3 1 2 ( 1) 1 2 1

13.

Рассмотрим произведение двух матриц А и В
2 1
1 2 1
A
B 1 3
3 1 2
0 1
2 1
1 2 1
1 2 2 1 1 0 1 ( 1) 2 3 1 1 4 6
A B
1
3
3
1
2
3
2
1
1
2
0
3
(
1)
1
3
2
1
7
2
0
1
2 1
2 1 ( 1) 3 2 2 ( 1) 1 2 1 ( 1) 2 1 3 0
1 2 1
B A 1 3
1
1
3
3
1
2
3
1
1
1
3
2
10
5
7
3
1
2
0 1
0 1 1 3
0 2 1 1
0 1 1 2 3 1 2
При
умножении
матриц
(переместительный) закон не выполняется
коммутативный
A B B A

14.

4. Возведение в степень.
Целой положительной степенью Am (m 1) квадратной
матрицы А называется произведение m равных матриц
Am A A A.... A
Операция возведение в степень определена только для
квадратных матриц.
Пример. Возвести матрицу А в вторую степень
1 2
A
3
4
1 2 1 2 7 10
A
3
4
3
4
15
22
2

15.

5. Транспонирование матрицы.
Под этой операцией понимается переход от матрицы А к
матрице АТ , в которой строки и столбцы поменялись
местами с сохранением порядка.
Матрица АТ называется транспонированной относительно
матрицы А:
a11 a12 a13
a11 a21 a31
A a21 a22 a23
AT a12 a22 a31
a
a
31 a32 a33
13 a23 a33
Свойства операции транспонирования
( AT )T A ( A)T AT
( A B)T AT BT
( AB)T BT AT

16.

Задачи с экономическим содержанием
Понятие матрицы часто используется в практической
деятельности.
Например, данные о выпуске продукции нескольких
видов, нормы затрат нескольких ресурсов на производство
продукции нескольких типов, цены реализации единицы
продукции, нормы затрат ресурсов на производство единиц
продукции и т.д удобно записывать в виде матриц.

17.

Задача.
Предприятие выпускает продукцию трех видов и
использует сырье двух типов. Определить затраты сырья,
необходимые для планового выпуска продукции, и общую
стоимость сырья.
Обозначим P1 , P2 , P3 видыпродукции S1 , S2 видысырья
Считая известными нормы расхода каждого вида сырья на
изготовление каждого вида продукции составим матрицу норм
расхода сырья
2 3
A 5 2 нормы расхода сырья
1 4

18.

Каждый элемент этой матрицы показывает, сколько
единиц сырья каждого типа расходуется на производство
единицы продукции.
План выпуска продукции, задан матрицей-строкой
С 100 80 130 план выпуска продукции
Стоимость единицы каждого типа сырья задана матрицейстолбцом
30
B стоимость единицы каждого типа сырья
50

19.

Решение. 1 способ.
1. Вычисляют матрицу затрат сырья
2 3
100 2 80 5 130 1
S C A 100 80 130 5 2
100 3 80 2 130 4
1 4
730 980 матрица затрат сырья
2. Вычисляют общую стоимость сырья
30
Q S B 730 980
50
(730 30 980 50) (70900)

20.

2 способ.
1.Вычисляют матрицу стоимости затрат сырья на единицу
продукции
2 3
210
30
R A B 5 2 250 матрица стоимости затрат
50
1 4
230
на единицу продукции
2. Вычисляют общую стоимость сырья
210
Q C R 100 80 130 250 (70900) общая стоимость сырья
230

21.

Задача.
В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов
продукции.
Матрица Am n - задает объемы продукции на каждом заводе
в первом квартале, Bm n матрица - во втором; aij , bij - объемы
продукции j - го типа на i - м заводе в первом и втором
кварталах соответственно:
3 0 2
2 3 7
2 4 1
1 2 2
B
A
4 3 2
4 1 5
5 2 4
2 1 3
В данном случае m=4 и n=3

22.

Замечание. Число строк в матрице соответствует числу
предприятий, а число столбцов – количеству видов
выпускаемой продукции.
Найти:
1. объем продукции за полугодие, за год:
5
3
C A B
8
7
3 9
6 3
4 7
3 7
10 6 18
6 12 6
D 2( A B)
16 8 14
14 6 14
2. Прирост объемов производства во втором квартале по
сравнению с первым по видам продукции и заводам:

23.

Прирост во втором квартале по сравнению с первым
определяется разностью матриц
D B A
1
1
0
3
3 5
2 1
2 3
1 1
Отрицательные элементы матрицы показывают, что на
данном заводе объем производства j-го продукта
уменьшился; положительные - увеличился; нулевые - не
изменился.

24.

3. Стоимостное выражение выпущенной продукции за
полгода (в долларах), если - курс доллара по отношению к
рублю.
C A B
Задача.
Предприятие производит n типов продукции, объемы
выпуска заданы матрицей A1 n . Цена реализации единицы –
i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей Bn k , где
k- число регионов, в которых реализуется продукции
Найти матрицу выручки C по регионам.

25.

Выручка определяется матрицей
Пусть
C1 k A1 n Bn k
2 3 1 5
A1 3 (100 200 100)
B3 4 1 3 2 2
2 4 2 4
Замечание. Число столбцов матрицы А и число строк
матрицы В равно количеству видов выпускаемой продукции,
число столбцов матрицы В равно числу регионов, где
реализуется продукция.
2 3 1 5
C 100 200 1 3 2 2 600 1300 700 1300 .
2 4 2 4

26.

Задача.
Предприятие производит n типов продукции, используя
m видов ресурсов. Нормы затрат ресурса i- го вида на
производство единицы продукции j-го типа заданы матрицей
затрат A. Пусть за определенный отрезок времени
предприятие выпустило определенное количество продукции
каждого типа, записанное матрицей X .
Определить S - матрицу полных затрат ресурсов каждого
вида на производство всей продукции за данный период
времени.
2 5 3
100
0 1 8
80
X
A4 3
3 1
1
3
1
110
2 2 3

27.

Матрица полных затрат ресурсов S определяется как
произведение матриц A и X , т.е.
S
2
5
0
1
1
3
2
2
3
930
100
8
960
80
450
14
110
3
690
Если известна стоимость каждого вида ресурса в расчете
на единицу продукции, то можно определить полную
стоимость всех затраченных ресурсов по формуле C PS
P (10 20 10 10)

28.

В данном случае
930
960
39900
C (10 20 10 10)
450
690