Пространство IsR центрированных интервалов

1.

ПРОСТРАНСТВО IsR ЦЕНТРИРОВАННЫХ ИНТЕРВАЛОВ
•Пространство IsR центрированных интервалов
•Сопряженный интервал
•Расширенное множество интервалов
•Операции интервального сложения и умножения на
число
•Операция интервального умножения
•Операция интервального деления
•Непрерывность интервальных операций
•Интервальные отображения
•Список рекомендуемой литературы

2.

ПРОСТРАНСТВО IsR ЦЕНТРИРОВАННЫХ ИНТЕРВАЛОВ
IR – множество замкнутых вещественных интервалов a, b , где
a b , a, b R 1
a, b x v x , x v x ,
где
x (a b) / 2, v x (b a) / 2
a, b
где x R 1, v x R
(1)
x, v x ,
IR I s R
(2)

3.

Сопряженный интервал
[a, b] [b, a]
IR – множество интервалов, сопряженных с интервалами из IR
[ a, b] [ x v x , x v x ]
X x, v x
(3)

4.

Сопряженный интервал
IR I s R
IR IR R1
I s R I s R R1
(4)

5.

Расширенное множество интервалов
A, B, ..., X , Y , ... элементы множества IR IR IR ,
A , B , ..., X , Y , ... – элементы множества Ι s R I s R I s R
если X I s R , то X I s R
если X I s R ,то X I s R
A A a , v a , B B b, v b ,
............................,
X X x, v x , Y Y y , v y ,
...............................
(5)

6.

Операции интервального сложения и умножения на число
X Y x y, v x v y
(6)

7.

Операции интервального сложения и умножения на число
X Y x y, v x v y
X x, v x , R 1
(6)

8.

Операции интервального сложения и умножения на число
X Y x y, v x v y
X x, v x , R 1
X Y X ( 1) Y x y, v x v y
(6)

9.

Операции интервального сложения и умножения на число
X X 0 0, 0
X X 0 0, 0
X X 2 x, 0 R 1
X X
(7)

10.

Операция интервального умножения
Разбиение пространства I s R
I sR
3
I si ,
(8)
i 1
где I s1 – множество точек X I s R , таких что
x vx 0
(9)
I s 2 – множество точек X I s R , таких что
x vx 0
(10)
I s 3 – множество точек X I s R , таких что
x v x 0, если x 0
x v x 0, если x 0
(11)

11.

Операция интервального умножения

12.

Операция интервального умножения

13.

Операция интервального умножения
A B ab v a v b , bv a av b – операция гиберболического
умножения интервалов A и B
Y X , если X , Y I s1
Y X Y X , если X I s 2 , Y I s1
( y s v y ), 0 X , если X I s 3 , Y I s1
1, если v x v y 0
s
1, если v x v y 0
(11)

14.

Операция интервального умножения
Y X , если X I , Y I
s2
s1
Y X Y X , если X , Y I s 2
( y s v y ), 0 X , если X I s 3 , Y I s 2
1, если v x v y 0
s
1, если v x v y 0
(12)

15.

Операция интервального умножения
(y s
если
(x s
если
Y X
(x s
если
(y s
если
v y ), 0 X ,
x, v x
,
y, v y
I s3 I1
v x ), 0 Y ,
x, v x
,
I s3 I 2
y, v y
v x ), 0 Y ,
x, v x
,
y, v y
I s3 I 3
v y ), 0 X ,
x, v x
,
y, v y
1, если v x v y 0
s
1, если v x v y 0
I s3 I 4
(13)

16.

Операция интервального умножения
y vx x v y 0
I 1:
y v x x v y 0
y vx x v y 0
I 2:
y v x x v y 0
y vx x v y 0
I 3:
y v x x v y 0
y vx x v y 0
I 4:
y v x x v y 0

17.

Операция интервального деления
X
1
2
y v 2y
Y
X Y ,
y vy
(14)

18.

Непрерывность интервальных операций
Теорема.
Операции
интервального
умножения и деления – непрерывны
сложения,
вычитания,

19.

Интервальные отображения
Определение. Отображение f : E I s R E I s R
f
A1 , A2 , ..., Ak , X
,
удовлетворяющее условию
f
a1, 0 , a 2 , 0 , ..., a k , 0 , x, 0
R1,
называется интервальным отображением.
Определение.
Интервальное
отображение
f : E I sR ,
порождаемое элементарной функцией f , называется элементарным
отображением.

20.

Интервальные отображения
f ( x) ax
порождает отображение
f
X
A * X
f ( x) ax 2 bx , f ( x) (ax b) x
порождают отображения
f2
f1
X
X
A * X
2
B * X
A * X B
*
X

21.

Интервальные отображения
f ( x) x 2
порождает отображение
f
X
X * X
x 2 v 2 , 2 x v , если X I I
x
x
s1
s2
2
X x v x x, x v x v x , если X I s 3 , x 0
x v x x, x v x v x , если X I s 3 , x 0

22.

Интервальные отображения
f ( x) x
порождает отображение
f
X
X
x , v x X I s R

23.

Список рекомендуемой литературы
1. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные
вычисления. – М.: Мир, 1987. – 356 с.
2. Kaucher E. Interval Analysis in the Extended Interval space IR //
Comp. Suppl. – 1980. – P. 33–49.

24.

Отношение порядка на множестве IsR
x y
y x
X Y , если x y или
Y X , если y x или
v
v
;
y
v y v x.
x
X A : x a, v x R
1
x a
или
1
v x v a , v x R