Непосредственное вычисление производных. Табличное дифференцирование. Общее определение производной. (Семинар 7)

1.

Семинар 7. Производная. Непосредственное вычисление производных.
Табличное дифференцирование.
Общее определение производной
Предполагаем, что функция y=f(x) определена на некотором конечном или
бесконечном интервале X ( a, b ) и непрерывна на этом интервале. Пусть x ( a, b )
фиксированная точка на этом интервале. Даем х приращение х 0 такое, что
Тогда функция y=f(x) получает соответствующее приращение
x x ( a, b)
y f ( x x ) f ( x )
y
(1). Составим отношение
(2). Это отношение
x
показывает во сколько раз на данном промежутке [ x, x x] приращение функции y
больше приращения аргумента х.
Пусть х 0 .Тогда y 0 в силу непрерывности функции y. Обозначим X 1 (a, b)множество точек интервала (a,b) для которых имеет смысл предельный переход
y
x
(3). Тогда формула y' lim x 0 y , ( x X 1 ) (4). Определяет некоторую
x
функцию y’=f’(x), носящую название производной функции f(x).
Геометрический смысл производной
Для данной функции y=f(x) ее производная y’=f’(x) для каждого значения х равна
угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.
lim x 0

2.

Основные формулы дифференцирования
Предполагается, что все рассматриваемые функции определены и дифференцируемы,
причем все используемые значения x, x x принадлежат интервалу
дифференцирования.
1. Производная постоянной величины равна 0.
2.Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых
функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.
Пусть y=u+v-w, где u,v,w – дифференцируемые функции от х. Тогда (u+v-w)’=u’+v’-w’
3.Производная произведения двух дифференцируемых функций Вычисляется по
формуле y uv y' (uv )' u' v uv'
Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cu)’=cu’
Следствие 2 Если u,v,w – дифференцируемые функции, то (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’
4.Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по
формуле
u
u u' v uv' где v 0
y y ' '
'
'
'
v
v2
v
Следствиу 1 Если знаменатель c=const, то u cu' 2uc' u' или u 1 u 1 u '
c
Следствие 2 Если числитель с=const, то с
v
'
c
c
c' v v' c cv'
2
v2
v
c
при
c 'c
v'
1
с=1 v v 2

3.

Таблица формул дифференцирования
№
1
2
3
4
Функция и ее производная
c' 0
(u v w)' u ' v' w'
(cu )' cu '
(uv)' u ' v uv'
5
u u ' v uv'
v2
v
6
y x' y z' z x'
'
1
y x'
7
x 'y
8
( x n )' nx n 1
9
10
(sin x)' cos x
(cos x)' sin x

4.

1
cos 2 x
11
(tgx)' sec 2 x
12
(ctgx)' cos ec 2 x
13
(log a x)'
1
sin 2 x
1
1
, (ln x)'
x ln a
x
14
(a x )' a x ln a, (e x )' e x
15
(arcsin x)'
16
(arctgx)'
18
(arcctgx)'
19
(chx)' shx
21
22
1 x2
(arccos x)'
17
20
1
1 x2
1
1 x2
1
1 x2
( shx )' chx
(thx)'
1
1
ch 2 x
(cthx)'
1
sh 2 x

5.

Примеры с решениями
1.Исходя из определения производной (не пользуясь формулами
дифференцирования), найти производную y 2 x 3 5x 2 7 x 4
Решение. Даем х приращение x тогда y получит приращение y
y y 2( x x) 3 5( y x) 2 7( x x) 4
Найдем приращение функции
2
3
2
3
2
y 2( x x) 3 5( y x) 2 7( x x) 4 - (2 x 5x 7 x 4) = 6 x x 6 x x 2 x 10 x x 5 x 7 x
Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
y
6 x 2 6 x x 2 x 2 10 x 5 x 7 Найдем предел отношения при x 0
x
y
lim (6 x 2 6 x x 2 x 2 10 x 5 x 7) 6 x 2 10 x 7
x 0 x
x 0
lim
Следовательно, по определению производной y' 6 x 2 10 x 7
2.Исходя из определения производной, найти производную y ctgx x
Решение. Найдем приращение функции
y ctg ( x x) ( x x) ctgx x ctgx ctg ( x x) x
sin( y x)
ctgx ctgy
sin x sin y
получим
используя формулу
sin x
sin( x x x)
y
x
y
x
1
sin x sin( x x)
x sin x sin( x x)

6.

sin x
y
1
x
lim
lim
1
1
И, следовательно x 0 x x 0 sin x sin( x x)
sin 2 x
Окончательно y ' 1 1 ctg 2 x
sin 2 x
3.Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих
функций.
а) y 2 x 3 5x 2 7 x 4 решение y' (2 x 3 )' (5x 2 )' (7 x)' (4)' 6 x 2 10 x 7
б) y x 2 e x
решение y' ( x 2 )' e x x 2 (e x )' 2 xex x 2 e x xex (2 x)
в) y x 3 arctgx решение y' ( x 3 )' arctgx x 3 (arctgx)' 3x 2 arctgx x 3 /(1 x 2 )
x
г)
arcsin x
2
arcsin x
(arcsin
x
)'
x
arcsin
x
x
'
1 x
решение y'
y
2
x
x
x2
д)
sin x cos x
(sin x cos x) 2 (sin x cos x) 2
2
y
решение
y'
sin x cos x
2
2
(sin x cos x)
(sin x cos x)
Примеры для самостоятельного решения.
1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами
дифференцирования), найти производные:
2
1) y 4 x 3 5x 2 7 x 1 2) y 2tgx x
3) y ln x x

7.

2.Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные
следующих функций
1) y ax m bx m n
5) y
2) y x 2 3 x 2
(1 x 2 )arctgx x
2
9) y ( x 2 2 x 2)e x
3) y
2
1
2x 1 x
6) y e x arcsin x
10) y
x5
ex
4) y 2 x sin x ( x 2 2) cos x
7) y x 3 ln x x 3 / 3
8) y 1 / x 2 ln x
ln x
x