Дифференцирование функции

1.

§4. Дифференцирование функции
Определение производной
Функция f(x) дифференцируема в точке x тогда и
только тогда, когда существует ее производная в этой
точке. При этом выражение
есть дифференциал функции.
1

2.

2

3.

3

4.

4

5.

Геометрический смысл производной
Значение производной f '(x0) равно угловому
коэффициенту касательной, проведенной к кривой
y = f '(x) в точке M0(x0, f(x0)): f '(x0) = kкас.
Уравнение касательной, проходящим через точку M0,
имеет вид: y − y0 = f '(x0) (x − x0).
Нормаль – прямая, проходящая через точку касания
перпендикулярно касательной. Тогда kнорм = − 1/kкас.
Уравнение нормали: y − y0 = (− 1/f '(x0))·(x − x0).
5

6.

Пример. Составить уравнения нормали к линии
y = x3+ 3x2 − 5, параллельной прямой 2х − 6у + 1 = 0.
6

7.

7

8.

8

9.

9

10.

10

11.

11

12.

12

13.

13

14.

14

15.

15

16.

16

17.

§5. Исследование функции
Проводится по следующей схеме
1. Область определения функции D(f).
Множество значений функции E(f).
2. Четность, нечетность, периодичность
f(х) – четная х, ( х) D(f) f( х) = f(х)
(график симметричен относительно оси Оу)
f(х) – нечетная х, ( х) D(f) f( х) = f(х)
(график симметричен относительно начала координат)
Если ни одно условие не выполняется, то
f(х) – функция общего вида.
17

18.

f(х) – периодическая с периодом Т
х, (х Т), (х+Т) D(f) f(х) = f(х Т) = f(х+Т)
(определяется только для тригонометрических
функций)
3. Точки пересечения графика с осями координат
Пересечение с Оу существует, если х = 0 D(f), точка
пересечения (0, f(0))
(график пересекает Оу не более чем в одной точке).
Пересечение с Ох определяется в результате решения
уравнения: f(х) = 0.
18

19.

19

20.

20

21.

21

22.

22

23.

23

24.

По результатам исследования строят график функции
и при необходимости находят
7.* Дополнительные точки.
24

25.

25

26.

26

27.

27

28.

28

29.

29

30.

30

31.

31

32.

32

33.

33