Математические методы прогноза и восстановления зависимостей

1.

Математические методы
прогноза и восстановления
зависимостей

Аппроксимация – замена одних объектов
(функций) другими
Интерполяция – способ нахождения
промежуточных значений величины по
имеющемуся дискретному набору
известных ее значений
Вид аппроксимирующей функции ?
Число и положение точек, в которых
известно значение функции (узловых точек) ?

3.

Полиномиальная аппроксимация
2
n
y
a
a
x
a
x
...
a
x
0 1 2
n
Степень полинома на единицу меньше числа
узловых точек
2
n
y
a
a
x
a
x
...
a
x
1
0
1
1
2
1
n
1
2
n
y
a
a
x
a
x
...
a
x
2 0 1
2 2
2
n
2
......................
2
n
y
a
a
x
a
x
...
a
x
n 0 1
n 2
n
n
n

4.

Кусочно полиномиальная аппроксимация
Полиномы Лагранжа
n 1
(x xi)
n 1
i 1(i j)
y
yj n 1
j 1
(
x
x
)
j
i
i 1(i j)
(
x
x
)(
x
x
)(
x
x
)(
x
x
)(
x
x
)(
x
x
)
2
3
1
3
1
2
y
y
y
y
1
2
3
(
x
x
)(
x
x
)
(
x
x
)(
x
x
)
(
x
x
)(
x
x
)
1
2
1
3
2
1
2
3
3
1
3
2

5.

Многочлены Эрмита
n
1
y
H
(
x
)
y
h
(
x
)
y
j
j
j
j
j
1
n
1
(x xj)
(x xi)2
hj
i
1(i j)
n
1
2
(
x
x
)
j i
i
1(i j)
n
1
1
a
2
x
i
1x
j
i
n
1
(ax
b)
(x xi)2
Hj
i
1(i j)
n
1
2
(
x
x
)
j i
i
1(i j)
b 1 axj

6.

Полиномы Ньютона
y
y
(
x
x
)[
x
,
x
]
(
x
x
)(
x
x
)[
x
,
x
,
x
]
.
0
0
1
0
0
1
2
1
0
(
x
x
)(
x
x
)...(
x
x
)[
x
,...
x
]
0
1
n
1
n
n
yj y
i
[xj,x
i]
xj x
i
[
x
,
x
]
[
x
,
x
]
i
1
i
i
i
1
[
x
,
x
,
x
]
i
1
i
i
1
x
x
i
1
i
1

7.

Многочлены Чебышева
y
b
b
T
b
T
...
b
T
0
1
1
2
2
m
m
T0 1
T1 x
T
2
xT
T
n
1
n
n
1
Аппроксимация рациональными функциями
N(x)
y
D(x)

8.

Сплайн-интерполяция
Квадратичный сплайн
2
y
a
b
(
x
x
)
c
(
x
x
)
i
i
i
1
i
i
1
xi 1 x xi
ai yi 1
2
y
a
b
(
x
x
)
c
(
x
x
)
i
i
i
i
i
1
i
i
i
1
y
(
x
0
)
y
(
x
0
)
i
i
y (x0) 0

9.

Кубический сплайн
2
3
y
a
b
(
x
x
)
c
(
x
x
)
d
(
x
x
)
i
i
i
1
i
i
1
i
i
1
xi 1 x xi
ai yi 1
2
3
y
a
b
(
x
x
)
c
(
x
x
)
d
(
x
x
)
i i ii i
1ii i
1 ii i
1
y
(
x
0
)
y
(
x
0
)
i
1
i
1
y
(
x
0
)
y
(
x
0
)
i
i
"
(
x
0
)
y
"
(
x
0
)
y
''(
x
0
)
y
"
(
x
0
) y
i
i
i
1
i
1
(
(
y
x
)
y
x
)
0
0
n

10.

ai yi 1
(1)
a
b
h
c
h
d
h
y
i
i
i
i
i
(2)
b
2
c
h
3
d
h
b
0
i
i
i
i
1
(3)
c
3
d
c
0
i
ih
i
1
(4)
2
3
2
c
1 c
n
1 0

11.

Метод прогонки
A
c
D
c
B
c
G
ii
1
ii
ii
1
i
c
c
i
i
1
i
1
i
1
B
i
i
1
D
A
i
i
i
G
A
i
i
i
i
1
D
A
i
i
i

12.

Интерполяция с использованием
базисного сплайна
n
yi siBi
i 1
1
3
B
(
x
x
)
i
i
2
3
4
h
xi 2 x xi 1
xi 1 x xi
1
3
3 23 3
B
(
x
x
)
(
x
x
)
(
x
x
)
i
i
1
i
1
i
1
2
3
4
4
h 4
h
4
h
xi x xi 1
1
3
3 23 3
B
(
x
x
)
(
x
x
)
(
x
x
)
i
i
1
i
1
i
1
2
3
4
4
h 4
h
4
h
xi 1 x xi 2
1
3
B
(
x
x
)
i
2
3 i
4
h

13.

Аппроксимация Фурье
n
1
n
1
y
a
/
2
a
cos(
kx
/
n
)
b
sin(
kx
/
n
)
a
/
2
c
x
)
0
k
k
n
k
1
N 2n
2
n
1
k
1
h 1
2
n
1
a
1
/
n
y
(
x
)
cos(
kx
/
n
) b
1
/
ny
(
x
)
sin(
kx
/
n
)
k
k
x
0
x
0

14.

πk
na k = ( cos )U 2n− 1 − U 2n− 2 +f (0 )
n
πk
nb k = (sin )U 2n− 1
n
U0 0
U 1 =f (2n− 1 )
πk
U m = (2cos )U m− 1 − U m− 2 +f (2n − m)
n

15.

Использование усеченного ряда (M гармоник)
∑ ( f − f M )2 = ∑
x
x
[
2
M
a
0
2
f −n
+ ∑ ( a2k +b2k )
2 k=1
Ряд по косинусам
N
1
x
N
1
N−1
k
f
(− 1 )
2 0
πk
ak =
+ ∑ f ( x ) cos
x+
fN
N 2 x=1
N
2
[
]
]

16.

Медленное изменение по времени
N
1
x N
N
a
(
t
)
1
/
N
y
(
x
t
)
cos(
mx
/
N
)
m
x
N
1
N
b
(
t
)
1
/
N
y
(
x
t
)
sin(
mx
/
N
)
m
x
N
1

17.

Смешение частот
A
a
2
a
0
0
2
jN
j
1
A
a
(
a
a
)
k
k
2
(
j
k
)
N
2
(
j
k
)
N
j
1
B
b
(
b
b
)
k
k
2
(
j
k
)
N
2
(
j
k
)
N
j
1

18.

Сигма-множители Ланцоша.
• Прямоугольная волна с периодом
2
N
1
y
1
/
2
2
/
sin((
2
k
1
)
x
)
2
k
1
k
1
x
/
2
N
N
N
1
2
1
sin[
2
k
1
)
/
2
N
]
y
y
(
)
d
si
2
k
1
)
x
)
2
2
k
1
(
2
k
1
)
/
2
N
k
1
x
/
2
N

19.

Ряд экспонент
y
A
e
A
e
...
A
e
a
x
0
0
a
x
1
1
a
x
n
1
n
1
Метод наименьших квадратов
(Регрессионный анализ)
n
2
L
(
y
y
)
i
i
1
1
y
y
max
min
a0
yi a
0
n1
2
n
y a0

20.

y a0 a1x
n
n
n
n
2
yi x
x
i x
i
iy
i
i
1 i
1
i
1 i
1
a
0
n
n
2
2
n x
(
x
)
i
i
i
1
i
1
n
n
n
n
xiyi
xi yi
i
1 i
1
a1 i 1n
n
2
2
n
xi (
xi)
i
1
i
1
y
a
a
x
a
x
0
1
2
2
Ортогональные многочлены –
Лежандра, Лагерра, Эрмита, Чебышева
y
a
a
F
a
F
...
0
1
1
2
2