Матрицы. Определитель матрицы

1. МАТРИЦЫ

Ма́трица — математический объект, записываемый в виде
прямоугольной таблицы элементов, которая представляет
собой совокупность строк и столбцов, на пересечении
которых находятся её элементы.
Количество строк и столбцов матрицы задают размер
матрицы. Хотя исторически рассматривались, например,
треугольные матрицы, в настоящее время говорят
исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как
они являются наиболее удобными и общими.

2.

Матрицы широко применяются в математике для компактной
записи систем линейных алгебраических или дифференциальных
уравнений. В этом случае, количество строк матрицы
соответствует числу уравнений, а количество столбцов —
количеству неизвестных. В результате, решение систем
линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.
Матрицы допускают следующие алгебраические операции:
сложение матриц, имеющих один и тот же размер;
умножение матриц подходящего размера (матрицу,
имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу,
имеющую n строк);

3. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ

• Определи́тель (или детермина́нт) — одно
из основных понятий линейной алгебры.
Определитель матрицы является
многочленом от элементов квадратной
матрицы (то есть такой, у которой
количество строк и столбцов равны).
Определитель матрицы А обозначается как:
det(A), |А| или Δ(A).

4.

Для матрицы первого порядка детерминантом является сам
единственный элемент этой матрицы
Для матрицы
Для матрицы
детерминант определяется как
определитель задаётся рекурсивно:
где
— дополнительный минор к элементу a1j.

5.

Эта формула называется разложением по строке.
В частности, формула вычисления определителя
матрицы
такова:
= a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
Раскладывать (раскрывать) определитель можно по
элементам любой строки или любого столбца

6. Правило Крамера решения систем линейных уравнений

• Рассмотрим систему линейных
уравнений
а11х1 а12 х2 а13х3 b1,
а21х1 а22 х2 а23х3 b2 ,
а х а х а х b .
33 3
3
31 1 32 2

7.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных
а11
а12
а13
D а21 а22
а31 а32
а23
а33
Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система
совместна, т.е. имеет единственное решение
Далее составим три вспомогательных определителя, заменив,
соответственно, столбец с коэффициентами неизвестных на
столбец свободных членов:

8.

а11
b1 а12 а13
Dх1 b2 а22 а23
b3 а32 а33
а11 а12
b1
Dx3 а21 а22 b2
а31 а32 b3
b1
а13
Dx 2 а21 b2
а31 b3
а23
а33

9.

Решение системы находим по формулам:
Dх1
х1
D
Dх2
х2
D
Dх3
х3
D
которые называют формулами Крамера.

10.

Пример
Решить систему уравнений
х1 2 х 2 х3 10 ,
2 х1 х 2 х3 20 ,
х 3 х х 30 .
2
3
1
Решение. Вычислим определитель системы.
1
2
1
D 2
1
1 1
1
3
1
Система совместна, так как D≠0.

11.

Вычислим теперь вспомогательные определители:
10
Dх1 20
30
2 1
1 1 30
1
10
1
Dх2 2
20
1 20
1
30
1
3 1
1 2 10
Dх 3 2 1 20 60
Тогда
1 3 30
х
20
2
х1 30
x3 = - 60