Алгебра матриц. Комплексные числа

1. Алгебра

Лекции – 36часов
Пр. зан. – 36 часов
Зачет
Лектор: доц. Жмурова Ирина Юньевна
Ассистент: ст. пр. Игнатова Анна Васильевна

2. Балльно-рейтинговая система

Тип
.
Текущий контроль
Рубежный контроль
1 модуль
Теор.опросы
9
Практ.зан.
16
Коллоквиум
25
2 модуль
Теор.опросы
9
Практ.зан.
16
Коллоквиум
25

3. Требования

Опросы
на лекциях: 0; 0,25; 0,5; 1
Отсутствие на лекции: – 1
Итого (max): 18
Коллоквиум (max): 2 25 =50
Практические занятия: 32
Бонусные баллы (max): 10

4. Литература (учебники)

А.Г.Курош.
Курс высшей алгебры
Варпаховский
Ф.Л., Солодовников А.С.
Алгебра. Ч. 1.
Кострикин А.И. Введение в алгебру
Б. Ван дер Варден. Алгебра

5. Литература (задачники)

Проскуряков
И.В. Сборник задач по
линейной алгебре
Варпаховский
Ф.Л., Солодовников А.С.
Задачник-практикум по алгебре и
теории чисел

6.

Модуль
1. Алгебра матриц
Модуль 2. Комплексные числа

7. Модуль 1. Алгебра матриц

8. Системы линейных алгебраических уравнений

Def
1. Система линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ):
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1 22 2
2n n
2
(1)
am1 x1 am 2 x2 amn xn bm

9. Системы линейных алгебраических уравнений

Def 2. Набор чисел ω1,ω2,…,ωп называется
решением системы (1), если при подстановке
чисел ωi в каждое уравнение системы (1)
получается система верных равенств.
Def 3. Две СЛАУ называются
эквивалентными, если они имеют одинаковые
решения, либо не имеют решений

10. Системы линейны алгебраических уравнений

4. Матрицей системы (1) называется
матрица следующего вида:
Def
а11
а21
А
а т1
а12
а22
ат 2
а1п
а2 п
атп

11. Системы линейны алгебраических уравнений

5. Расширенной матрицей системы
(1) называется матрица следующего вида:
Def
а11 а12
а21 а22
А
а
т1 ат 2
а1п b1
а2 п b2
атп bm

12. Метод Гаусса

Элементарными преобразованиями
СЛАУ называются следующие:
1. Перемена местами двух уравнений
2. Умножение уравнения на число,
отличное от нуля
3. Прибавление к одному уравнению
другого, умноженного на число
Def.

13. Метод Гаусса

Теорема
1. Если одна СЛАУ получена из
другой с помощью конечного числа
элементарных преобразований, то она
эквивалентна данной.

14. Метод Гаусса

Теорема
2. Любую СЛАУ с помощью
конечного
числа
элементарных
преобразований можно привести к
ступенчатому виду.
NB Этот алгоритм называют алгоритмом
Гаусса

15. Исследование системы линейных алгебраических уравнений

СЛАУ
Приведение к ступенчатому виду
несовместная
совместная
определенная
неопределенная

16. Критерий совместности системы

Теорема
3. Для того, чтобы СЛАУ была
совместна, необходимо и достаточно,
чтобы
после
приведения
ее
к
ступенчатому виду в ней отсутствовали
бы уравнения вида 0=b, где b 0

17. Решение неопределенной СЛАУ

Привести систему (1) к ступенчатому
виду.
2.
Выделить свободные и главные
неизвестные.
3. Свободные неизвестные перенести в
правую часть с противоположным
знаком.
1.

18. Решение неопределенной СЛАУ

4. В левой части провести обратный ход метода
Гаусса.
5. Записать общее решение системы.
6. При необходимости найти частные решения
системы
NB 1. Если система неопределенная, то она
имеет бесконечное множество решений.
NB 2. Однородная система всегда совместна.

19. Примеры решения систем

х1 х2 х3 3
3 х1 х2 4 х3 6
2 х 8 х х 7
1
2
3
3 х1 5 х2 2 х3 4 х4 2
7 х1 4 х2 х3 3 х4 5
5 х 7 х 4 х 6 х 3
2
3
4
1

20. Примеры решения систем

2 х1 х2 х3 2 х4 3 х5 2
6 х 3 х 2 х 4 х 5 х 3
2
3
4
5
1
6 х1 3 х2 4 х3 8 х4 13 х5 9
4 х 2 х х х 2 х 1
2
3
4
5
1
4 х1 2 х2 2 х3 4 х4 6 х5 4

21. Операции над матрицами

M m n ( R) { A матрица т п}
b11 b12 b1п
а11 а12 а1п
А В
а
b
b
b
тп
т1 т 2
т1 ат 2 атп
A aij
т n
i 1 j 1
B bij
A, B M m n ( R)
т n
i 1 j 1

22. Условие равенства матриц

Две матрицы из Mmxn(R) называются
равными, если все элементы, стоящие на
одних и тех же местах равны
Def.

23. Сложение матриц

1. Суммой матриц А и В из Mmxn(R)
называются матрица, элементы которой
равны сумме соответствующих элементов
матриц А и В
Def

24. Свойства операции сложения

10. Коммутативность
20. Ассоциативность
30. Наличие нейтрального элемента
40. Наличие нейтрализующего элемента
NB 1. Матрица –А называется матрицей,
противоположной к А, или противоположной
матрицей.
NB 2. Алгебраическая структура, обладающая
свойствами 10 – 40, называется абелевой
(коммутативной) группой.

25. Умножение матрицы на число

def.
Пусть
А Мm n(R),
λ R.
Произведением матрицы А и числа λ
называется матрица, каждый элемент
которой
получается
произведением
элемента матрицы А и числа λ

26. Свойства операции умножения матрицы на число

10.
1·А=А
20. λ(μА)=(λμ)А
30. λ(А+В)=λА+λВ
40. (λ+μ)А=λА+μА
50. (λА)В=λ(АВ)=А(λВ)

27. Умножение матриц

R арифметические векторы
п
а а1 , а2 , , ап , ai R
b b1 , b2 , , bп , bi R
(a, b) скалярное произведение векторов
n
(a , b) a1b1 a 2b2 a n bn ai bi
i 1

28. Свойства скалярного произведения арифметических векторов

Коммутативность
20. Однородность
30. Аддитивность
40. Неотрицательность
10.

29. Определение произведения квадратных матриц

A, B M 2 2 ( R) M 2 ( R)
А
АВ
x
z
x
В
z
y
t
y
t
x z y t
x z y t

30. Определение произведения матриц

A, B M 2 2 ( R) M 2 ( R)
x
y
2
В B
z
t
А1 ( , )
А2 ( , )
1
А1 , В
АВ
1
А2 , В
1
А , В
А , В
2
1
2
2

31. Определение произведения матриц

A aij
B bij
n n
i 1 j 1
A1 , B
1
A2 , B
AB
A , B1
п
1
n n
i 1 j 1
A , B
A , B
2
A , B
A , B
2
1
2
A , B
2
п
п
1
п
2
п
Aп , B

32. Определение произведения матриц

1 1 4
3 2 3
A 2
7 9 B 4 1
1
2 0 4
0 1
2

33. Свойства операции умножения квадратных матриц

Коммутативность
20. Ассоциативность
30. Существование нейтрального элемента
40. Существование обратного элемента
10.

34. Умножение прямоугольных матриц

Условие
согласования
Число столбцов левой матрицы должно
быть равно числу строк правой

35. Умножение прямоугольных матриц

def. Пусть А Мm n(R), B Mn r(R).
Произведением матриц А и В называется
матрица С Мm r(R), вычисляемая по
правилу:

36. Умножение прямоугольных матриц

A aij
B bij
т n
i 1 j 1
A1 , B
1
A2 , B
AB
A , B1
т
1
n r
i 1 j 1
A , B
A , B
2
A , B
A , B
2
1
2
A , B
2
т
r
1
r
2
r
Aт , B

37. Свойства операции умножения матриц (в общем виде)

Коммутативность
20. Ассоциативность
30. Существование нейтральных
элементов: левого и правого
40. Дистрибутивность относительно
сложения
10.

38. Операция транспонирования матрицы

A aij
а11
а21
А
ат1
т n
i 1 j 1
A a ji
а1п
а11 а21
а22 а2 п
а12 а22
А
ат 2 атп
а1п а2 п
а12
n m
j 1i 1
ат1
ат 2
атп

39. Свойства операции транспонирования

10. (А+В)τ=Аτ + Вτ
20. (λА)τ =λАτ
30. (Аτ)τ =А
40. (АВ)τ=ВτАτ

40.

Определитель квадратной матрицы
Определителем квадратной матрицы А Мп(R)
называют ее числовую характеристику,
a11
det A A
a12 a1n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann

41.

Определитель квадратной матрицы
Определитель квадратной матрицы А Мп(R) – ее
числовая характеристика
a11
det A A
a12 a1n
a21 a22 a2 n
an1 an 2 ann

42.

Определитель квадратной матрицы
Определитель матрицы второго порядка:
а11
а12
а21 а22
а11а22 а12а21

43. Определитель 3-го порядка

а11
а12
а13
а21 а22
а23
а31 а32
а33
а11а22а33 а13а21а32 а12а23а31
а13а22а31 а12а21а33 а11а23а32

44. Определитель 3-го порядка: правило Саррюса

45. Определитель n-го порядка

а11 а1n
аn1 аnn
n
sgn a
i
S n
i
i 1
sgn а а а
S n
1 1
2
2
n
n

46. Свойства определителей

Определитель п-го порядка
содержит п! слагаемых, из которых
половина берется со знаком «+», а
половина – со знаком «–»
10

47. Свойства определителей

При транспонировании
определитель матрицы не меняется
NB Из свойства 20 следует, что все
свойства определителей можно
формулировать как для строк, так и
для столбцов
20

48. Свойства определителей

Если какаянибудь строка
(столбец) матрицы
состоит из нулей,
то ее
определитель
равен нулю
30
0
0 0

49. Свойства определителей

40 Если матрица В получена из матрицы А элементарным преобразованием 1 типа, то det B = – det A.
ai 1
ai 2
ain
a j1 a j 2
a jn
ai 1
ain
aj1
aj 2
a jn
ai 2

50. Свойства определителей

50 Если матрица В получена из матрицы А
элементарным преобразованием 2 типа, то
det B = λ det A.
ai1 aiт ai1 aiт

51. Свойства определителей

60 Если строки (столбцы) матрицы
пропорциональны, то ее определитель равен
нулю.
ai1
ai 2
ain
0
kai1 kai 2 kain

52. Свойства определителей

70 Если какая-нибудь строка (столбец)
матрицы есть сумма двух
арифметических векторов, то ее
определитель равен сумме
определителей, которые получаются из
исходной матрицы заменой на
соответствующие строки.

53. Свойства определителей

ai1 bi1 ai 2 bi 2 ain bin
ai1 ai 2 ain bi1 bi 2 bin

54. Свойства определителей

Если матрица В получена из
матрицы А элементарным
преобразованием 3 типа, то ее
определитель не изменится:
det B = det A.
80

55. Свойства определителей

ai1
ain
a j1 ai1 a jn ain
ai1 ain
a j1 a jn

56. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Def. Минором
Mij, дополнительным к
элементу aij называется определитель
п-1-го порядка, полученный из
определителя матрицы вычеркиванием
строки и столбца, содержащего
элемент aij

57. Разложение определителя по элементам строки или столбца

M ij
a11
a1 j 1
a1 j 1
a1n
ai 11 ai 1 j 1
ai 1 j 1 ai 1 n
ai 11 ai 1 j 1
ai 1 j 1 ai 1 n
an1
an j 1
an j 1
ann

58. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Def. Алгебраическим дополнением элемента
aij называется его дополнительный минор,
взятый с определенным знаком:
Aij=(–1)i+jMij
Ех.
1
2
1
А 3
5
7
3 4 2

59. Малая теорема Лапласа

Определитель п-го порядка равен сумме
произведений элементов какой-нибудь строки
(столбца) и их алгебраических дополнений.
n
det A aij Aij
j 1
n
det A aij Aij
i 1

60. Доказательство

a11
a21
an 1,1
0
a12
a22
an 1, 2
0
a1, n 1
a2 , n 1
an 1, n 1
0
a1n
a2 n
an 1, n
ann

61. Доказательство

0 0 aij
0 0

62. Доказательство

аi 1
ai 2 ain

63. Следствие 1

Пусть b1,b2,…,bn – произвольные числа.
Сумма
n
b A
j
ij
j 1
равна определителю матрицы В, которая
получена из матрицы А заменой i-й строки
числами b1,b2,…,bn

64. Следствие 1

n
b A
j 1
j
ij
a11
a12
a1n
b1
b2
bn
an1
an 2
ann

65. Следствие 2

Сумма произведений элементов какой-нибудь
строки (столбца) и алгебраических элементов
другой строки (столбца) равна нулю
n
a
j 1
kj
Aij 0, k i

66. Следствие 3

k i
0,
j 1 akj Aij det A, k i
n

67. Обратная матрица

А Мп(R)
def. Матрица А–1 Мп(R) называется
обратной к матрице А, если
А А А А Е
1
1
def. Матрица, имеющая обратную, называется
обратимой

68. Свойства обратной матрицы

(А–1 )–1 =А
20 Произведение обратимых матриц
обратимо, причем (АВ)–1 = В–1А–1
30 Если матрица А обратима, то
уравнения (1) АХ=В и (2) ХА=В имеют
решение
1
0
–1
–1
4 det A = (det A) =
10
det A

69. Свойства обратной матрицы

Теорема
(критерий обратимости
матрицы) Для того, чтобы матрица А
была обратима, необходимо и
достаточно, чтобы ее определитель был
отличен от нуля
def Если определитель матрицы
отличен от нуля, матрицу называют
невырожденной

70. 2 способа нахождения обратной матрицы

1 ˆ
1 способ : А
A
det A
2 способ : метод Гаусса
1
А Е ~ E A
1
1 1 1
А 2 1 1
1 2 1

71. Теорема Крамера

Пусть
(1)
–
система
линейных
алгебраических уравнений с квадратной
матрицей
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a x a x a x b
21 1 22 2
2n n
2
(1)
aп1 x1 aп 2 x2 aпn xn bп

72. Теорема Крамера

Если определитель матрицы системы (1)
отличен от нуля, то система (1) является
определенной, а ее единственное решение
определяется формулами
det Ai
xi
det A
где Аi – матрица, полученная из матрицы А
заменой i-го стоблца столбцом свободных
членов

73. Пример решения системы по правилу Крамера

x1 x2 x3 3
3 x1 x2 4 x3 6
2 x 8 x x 7
1
2
3

74. Модуль 2. Комплексные числа

2
i
+ 1= 0

75. 1. Историческая справка

Впервые мнимые величины появились в
работе Дж. Кардано «Великое искусство,
или об алгебраических правилах» в 1545
году.
Пользу мнимых чисел при решении
кубических уравнений впервые оценил
итальянский ученый Р. Бомбелли (1572).
Символ i предложил российский ученый Л.
Эйлер (1777, опубликовано1794).
Задача о выражении степени n из комплексного
числа была в основном решена в работах
английских ученых А. Муавра (1707, 1724) и Р.
Котеса (1722).

76. 1. Историческая справка

Термин
«комплексное
число»
ввел
французский ученый Л. Карно (1803).
В употребление термин вошел после работ
К. Гаусса (1831).
Полное
геометрическое
истолкование
комплексных чисел и действий над ними
появилось впервые в работе датского ученого
К. Весселя (1799).
Геометрическое
представление
комплексных
чисел
называют
иногда
«диаграммой Аргана» в честь швейцарского
ученого Ж. Аргана.

77. Абрахам Муавр (Moivre) (1667 – 1754)

2. Требования, предъявляемые к
системе комплексных чисел
1. <C, +, > – поле
2. Уравнение x2 + 1 = 0 имеет решение в
поле С
3. Множество действительных чисел –
подмножество множества комплексных
чисел и все операции согласованы.

78. Карл Фридрих Гаусс (Gauss) (1777 – 1855)

Построение множества комплексных
чисел
C = R2={(a,b): a,b R}
Условие равенства:
(a,b)=(a1,b1) a=a1, b=b1
Операция сложения:
(a,b)+(a1,b1)=(a +a1,b +b1)
Операция умножения:
(a,b) (a1,b1)=(aa1 –bb1, ab1+ba1)

79. Леонард Эйлер (Eular) (1707 – 17830)

Классическая (алгебраическая) форма
комплексного числа
z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) ,
(a,0) →a, (b,0)→ b, (0,1)→i, i2= – 1.
z=a+bi, a,b – действительные числа,
i – мнимая единица, определяемая равенством
i2= – 1.
a=Re z - действительная часть комплексного
числа z.
b=Im z - мнимая часть комплексного числа z.
(иногда мнимой частью называют bi)

80. 2. Требования, предъявляемые к системе комплексных чисел

Равные комплексные числа
z1=a+bi, z2=c+di
z1=z2, если a=c, b=d.

81. Построение множества комплексных чисел

Действительные числа
z=a+0i=a,
z=Re z
Im
z=a+0i=a
r
a
Re

82. Классическая (алгебраическая) форма комплексного числа

Чисто мнимые числа
z=0+bi=bi, z=Im z
b
z=0+bi=b
r
Re

83. Равные комплексные числа

Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
Сложение: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Вычитание: (a+bi) – (c+di) = (a – c) + (b – d)i
Умножение: (a+bi) (c+di) = (ac – bd) + (ad+bc)i
Деление:
a bi ( ac bd ) (bc ad )i
2
2
c di
c d

84. Действительные числа

Противоположные комплексные числа
z=a+bi,
–z=-a-bi
Im
z=a+bi
b
r
–a
a
r
–z=a–bi
–b
Re

85. Чисто мнимые числа

Операция комплексного сопряжения
Сопряженные
комплексные
числа:
z=x+yi, z =x-yi

86. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Свойства операции комплексного
сопряжения
1 . z1 z 2 z1 z 2
5 . z z z R
2 . z1 z2 z1 z2
6 . z z 2 Re z
0
0
0
3.
z1 z1
z2 z2
4. z z
0
0
0
7 . z z 2 Im z
0
8 . zz z
0
2

87. Противоположные комплексные числа

Геометрическая интерпретация
комплексных чисел
y
М(а;b)
b
r
0
a
x
Комплексные
числа
на
плоскости изображаются в
прямоугольной декартовой
системе координат либо
точкой М(а;b), либо радиусвектором этой точки
r =ОМ=(а; b).

88. Операция комплексного сопряжения

3. Геометрическая интерпретация
комплексных чисел

89. Свойства операции комплексного сопряжения

4. Модуль и аргумент комплексного числа
Модуль комплексного
числа
z r a b
2
2
Аргумент
комплексного числа
arg z = ,
Sin = b/r,
Cos φ = a/r
0≤ < 2 .

90. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

5. Алгоритм перехода от алгебраической формы
комплексного числа к тригонометрической
1. Найти модуль
комплексного числа
z= a + bi
2. Найти аргумент φ
комплексного числа из
условий:
3. Записать комплексное
число в
тригонометрической
форме:
z r a b
2
2
a
b
cos , sin
r
r
z a bi r (cos i sin )

91. 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел

6. Алгоритм перехода от тригонометрической
формы комплексного числа к алгебраической
z r (cos i sin )
r cos i r sin
a
b
a bi

92. 4. Модуль и аргумент комплексного числа

7. Пример перехода от алгебраической формы
комплексного числа к тригонометрической
Z = 2 +2i,
a = 2, b = 2,
r 2 2 2 2 8 2 2.
y
2
2
cos
,
2 2
2
2
2
sin
2 2
2 4,
2
z 2 2 (cos i sin ).
4
4
0
r
φ
2
x

93. 5. Алгоритм перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической

7. Пример перехода от тригонометрической
формы комплексного числа к алгебраической
5
5
z 4 cos
i sin
3
3
5 1
cos
3 2
5
3
sin
3
2
1
3
z 4 i
2 2i 3
2
2

94. 6. Алгоритм перехода от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической

8. Действия с комплексными числами в
тригонометрической форме
z1 r1 (cos 1 i sin 1 ), z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z 2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z 2 r2
z r cos n i sin n формула Муавра
n
n

95. 7. Пример перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической

9. Тригонометрические функции кратного
аргумента
(cos i sin ) п cos п i sin п
cos i sin
п
cos n cos
n
n 1
i sin i sin
n

96. 7. Пример перехода от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической

10. Извлечение корня п-й степени из
комплексного числа
z r (cos i sin )
n
2 k
2 k
z r cos
i sin
n
n
n
k 0 ,1, , n 1

97. 8. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

3
2 k
2 k
1 cos
i sin
3
3
1 cos i sin
z0 cos i sin
3
3
3
3
z1 cos i sin 1
3
3
5
5
z2 cos i sin
3
3

98. 9. Тригонометрические функции кратного аргумента

Алгебраические уравнения
ax+b=0
ax2+bx+c=0
ax3 +
bx2 + cx + d=0
ax4 + bx3 + cx2 + dx + е =0

99. 10. Извлечение корня п-й степени из комплексного числа

Алгебраические уравнения
x3 +
6x2 + 6x +5=0
x3 + 3x2 – 9x +5=0
x3 – 6x + 4 = 0
x3 + 12x – 16i = 0

100.

Метод Феррари
ax4 +
bx3 + cx2 + dx + е =0
3_4 deg.doc