Комплексные числа

1.

2.

Числовая система
Натуральные
числа, N
Целые числа, Z
Рациональные числа, Q
Действительные числа,
R
Комплексные
числа, C
Допустимые
алгебраические
операции
Сложение,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение
Сложение, вычитание,
умножение, деление
Сложение, вычитание,
умножение, деление,
извлечение корней из
неотрицательных чисел
Все операции
Частично
допустимые
алгебраические
операции
Вычитание, деление,
извлечение корней
Деление,
извлечение корней
Извлечение корней из
неотрицательных
чисел
Извлечение корней
из произвольных
чисел

3.

4.

Минимальные условия, которым должны удовлетворять
комплексные числа:
Существует квадратный корень из i , т.е. существует
комплексное число, квадрат которого равен -1 .
1)
Множество комплексных чисел содержит все действительные
числа.
2)
Операции сложения, вычитания, умножения и деления
комплексных
чисел
удовлетворяют
обычным
законам
арифметических действий (сочетательному, переместительному,
распределительному).
3)
Выполнение этих минимальных условий позволяет определить все
множество С комплексных чисел.

5.

6.

7. Мнимые числа

i2 = -1, i – мнимая единица
i, 2i, -0,3i — чисто мнимые числа
Арифметические операции над чисто мнимыми числами
выполняются в соответствии с условием С3.
3i 13i 3 13 i 16i
3i 13i 3 13 i i 39i 2 39
i
7
i
2
3
i i
В общем виде правила арифметических операций с чисто
мнимыми числами таковы:
ai bi a b i; ai bi a b i;
ai bi abi ab
a bi ab i;
2
где a и b — действительные числа.

8. Комплексные числа

Определение 1. Комплексным числом
называют сумму действительного числа и
чисто мнимого числа.
z a bi C a R, b R,
i мнимая единица.
a Re z , b Im z
Определение 2. Два комплексных числа
называют равными, если равны их
действительные части и равны их
мнимые части:
a bi c di a c, b d .

9. Классификация комплексных чисел

Комплексные числа
a + bi
Действительные числа
b=o
Рациональные
числа
Иррациональные
числа
Мнимые числа
b≠o
Мнимые числа с
ненулевой
действительной
частью
a ≠ 0, b ≠ 0.
Чисто
мнимые
числа
a = 0, b ≠ 0.

10. Арифметические операции над комплексными числами

Сложение (а + bi) + (c + di) = (а + с) + (b + d)i
Вычитание (а + bi) - (c + di) = (а - с) + (b - d)i
Произведение (а + bi)·(с + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Деление
a bi (a bi)(c di) ac bd bc ad
2
2 2
2 i
c di (c di)(c di) c d
c d

11. Сопряженные комплексные числа

Определение: Если у комплексного числа сохранить
действительную часть и поменять знак у мнимой части, то
получится комплексное число, сопряженное данному.
Если данное комплексное число обозначается буквой z, то
сопряженное число обозначается z :
z x yi z x yi
Из всех комплексных чисел действительные числа (и только
они) равны своим сопряженным числам.
Числа a + bi и a - bi называются взаимно сопряженными
комплексными числами.

12. Свойства сопряженных чисел

1. Сумма и произведение двух сопряженных чисел есть число
действительное.
z z (a bi ) ( a bi ) 2a
z z ( a bi )( a bi ) a 2 (bi ) 2 a 2 b 2
2. Число, сопряженное сумме двух комплексных чисел, равно
сумме сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
3. Число, сопряженное разности двух комплексных чисел, равно
разности сопряженных данным числам.
z1 z2 z1 z2
4. Число, сопряженное произведению двух комплексных чисел, равно
произведению сопряженных данным числам.
z1z2 z1 z2

13. Свойства сопряженных чисел

5. Число, сопряженное п-ой степени комплексного числа z,
равно п-ой степени числа, сопряженного к числу z, т.е.
z ( z) , n N
n
n
6. Число, сопряженное частному
двух комплексных
чисел, из которых делитель отличен от нуля, равно
частному сопряженных чисел, т.е.
a bi a bi
c di c di

14. Степени мнимой единицы

По определению первой степенью числа i является
1
само
число i, а второй степенью – число -1:
i1 = i, i2 = -1
.
Более высокие степени числа i находятся следующим
1
образом:
i4 = i3 ∙ i = -∙i2= 1;
i5 = i4 ∙ i = i;
i6 = i5 ∙ i = i2= - 1 и т.д.
Очевидно, что при любом натуральном n
i4n = 1;
i4n +2 = - 1
i4n+1 = i;
i4n+3 = - i.

15. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел в алгебраической форме.

• Определение. Число w называют квадратным корнем из
2
комплексного числа z, если его квадрат равен z: w z
• Теорема. Пусть z=a+bi – отличное от нуля комплексное число.
Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных
числа, квадраты которых равны z. Если b≠0, то эти два числа
выражаются формулой:
w
a2 b2 a
i signb
2
a 2 b 2 a
, где
2
1, если b 0
signb 1, если b 0
0, если b 0
При b 0, a 0 имеем : w a , при b 0, a 0 имеем : w i a .

16. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Комплексному числу z на координатной плоскости
соответствует точка М(a, b).
Часто вместо точек на плоскости берут их радиусывекторы
OM комплексного числа z = a + bi
Определение: Модулем
называют неотрицательное число a 2 b 2 ,
равное расстоянию от точки М до начала
координат
2
2
z a b
cos
y
М (a, b)
b
φ
O
a
x
a
и sin
b
a b
a 2 b2
аргумент комплексно го числа
2
;
2

17. Тригонометрическая форма комплексного числа

z r cos i sin
где φ – аргумент комплексного числа,
r = a 2 b 2 - модуль комплексного числа,
cos
a
a2 b2
и sin
b
a2 b2

18. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме

Теорема1 Если z1 0, z2 0 и
z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 ,
а)
z1 z2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
б)
z1 r1
cos 1 2 i sin 1 2
z2 r2
то:
Теорема 2 (формула Муавра).
Пусть z — любое отличное от нуля комплексное число, п —
любое целое число.
Тогда z n r cos i sin n r n cosn i sin n .

19. Извлечение корня из комплексного числа.

Теорема. Для любого натурального числа n и отличного
от нуля комплексного числа z существуют n различных
значений корня n-степени.
Если z r cos i sin ,
то эти значения выражаются формулой
2 k
2 k
wk r cos
i sin
,
n
n
где k 0,1,..., (n 1)
n