ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
1. Уравнения Пуассона
2. Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести
3. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
4. Первые интегралы системы
5. Известные случаи интегрируемости
6. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа
7. Качественный анализ движения ТТ в случае Лагранжа
8. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия
9. О пользе анализа размерностей
515.00K
Category: physicsphysics

Движение тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести. Случай Лагранжа

1. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 8:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ.
СЛУЧАЙ ЛАГРАНЖА

2. 1. Уравнения Пуассона

OXYZ
Oxyz
неподвижная система координат
подвижная система координат (ПСС),
жестко связанная с телом
G a, b, c
центр тяжести
n 1, 2 , 3 единичный вектор верт. оси OZ
в ПСС
Выражение компонент орта n через углы Эйлера
1 sin sin , 2 sin cos , 3 cos
dn
dn
0
ω n 0 Уравнения Пуассона
dt
dt
d 1
d 2
d 3
r 2 q 3 ,
p 3 r 1 ,
q 1 p 2
dt
dt
dt

3. 2. Динамические уравнения Эйлера при наличии силы тяжести

Ap C B qr M xe
Динамические уравнения
Bq A C rp M ye Эйлера в общем случае
Cr B A pq M ze
MO OG Pn
M x P 2c 3b
M y P 3a 1c
M z P 1b 2a
Ap C B qr P 2c 3b
Bq A C rp P 3a 1c
Cr B A pq P 1b 2a
Динамические уравнения Эйлера для
движения тяжелого твердого тела

4. 3. Уравнения движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки

1 r 2 q 3
2 p 3 r 1
Замкнутая система уравнений для
нахождения
3 q 1 p 2
Ap C B qr P 2c 3b
1 (t ), 2 (t ), 3 (t ), p(t ), q(t ), r(t )
Bq A C rp P 3a 1c
Cr B A pq P 1b 2a
После нахождения
1 (t ), 2 (t ), 3 (t ), p(t ), q(t ), r(t )
зависимости
(t ), (t )
находятся из условий
1 sin sin , 2 sin cos , 3 cos
а оставшийся угол Эйлера
(t ) из одного из кинематических уравнений Эйлера
p sin sin cos
q sin cos sin
r cos

5. 4. Первые интегралы системы

1)
12 22 32 1
n 1
2) Теорема об изменении кинетического момента
Реакция опоры и сила тяжести не создают момента относительно оси OZ
K O n const
Ap 1 Bq 2 Cr 3 const
3) Сохранение энергии
T const
1
T Ap 2 Bq 2 Cr 2
2
Ph P OG n P a 1 b 2 c 3
Ap
2
Bq 2 Cr 2 2 P a 1 b 2 c 3 const
Из общей теории множителя Якоби известно, что для того,
чтобы интегрирование исходной системы можно было
свести к квадратурам при любых начальных условиях,
нужно найти еще один независимый от них интеграл.

6. 5. Известные случаи интегрируемости

А) Случай Эйлера: тело произвольно, но его центр тяжести находится в
неподвижной точке О
a b c 0
дополнительный интеграл KO2 A2 p 2 B 2 q 2 C 2 r 2 const
В) Случай Лагранжа: эллипсоид инерции тела для неподвижной точки является
эллипсоидом вращения, а центр тяжести находится на оси вращения
A B, a b 0
r const
дополнительный интеграл
С) Случай Ковалевской: эллипсоид инерции для точки О является эллипсоидом
вращения вокруг оси Oz, момент инерции относительно этой оси вдвое меньше двух
других, а центр тяжести тела лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции
A B 2C , c 0
дополнительный интеграл
p 2 q2 1 2 pq 2 const
2
2
=
Pa
C

7. 6. Вывод уравнения для угла нутации в случае Лагранжа

12 22 32 1
(2) A p 1 q 2 Cr 3 b
2
2
(3) A p q 2 Pc 3 2e
(1)
1 r 2 q 3
2 p 3 r 1
q
p
A
(4)
3 q 1 p 2
Ap C A rq P 2c 2
Aq C A rp P 1c 1
q 1 p 2 r q 2 p 1 3 p 2 q 2
A q 1 p 2 C A r q 2 p 1 Pc 12 22
d
q 1 p 2 Cr q 2 p 1 A 3 p 2 q 2 Pc 12 22
dt
2
b Cr 3
2
(
e
Pc
)
Pc
1
3
3
A
(1)
3
(4)
(2) Cr
3
A
(3)
d
2 d
2
2 3 A2 3 2 3
A2 32 3 3
A
3 3 3
dt
dt
A

8. 7. Качественный анализ движения ТТ в случае Лагранжа

A2 32 3 3
t A
s1 3 s2
d 3
3 3
1 2
1
1
s1
Z
апекс A
3 s
3 cos
s2
s
s3
Движение апекса А по сфере изображает
движение оси Oz , т. е. прецессию и нутацию
n
ось динамической
симметрии
Сферическое представление
движения тела

9. 8. Быстро вращающееся тело: псевдорегулярная прецессия

Начальные условия
размерности
t 0 : , 0, 0 , 0
f , C, c, P, A / C, 0
ML
1
2
ML
L
1
1
1
T2
T
Аргументами должны являться безразмерные комплексы,
а не размерные параметры, иначе ответ будет зависеть от
единиц измерения
cP
f 2 , A / C , 0
C
Быстро вращающееся тело – большие
– малые значения параметра
cP
2C
0 c 0 случай Эйлера вращения симметричного тела
0 0 (регулярная прецессия) f , A / C, 0 0 0
A
2
Раскладывая в ряд Тейлора f , A / C , 0 b( A / C , 0 ) O
b sin 0
C
Когда велика, изменение угла нутации настолько мало, что
прецессия кажется регулярной. Такая нерегулярная прецессия, мало
отличающаяся от регулярной, называется псевдорегулярной прецессией.
точный
результат

10. 9. О пользе анализа размерностей

Доказательство теоремы Пифагора
Треугольник, а, значит, и его площадь,
полностью определяется величинами c и
размерности
c
S
S
f ( c, )
2
c
L 1
1
S c f ( )
2
S S1 S2
c2 f ( ) b2 f ( ) a 2 f ( )
c 2 b2 a 2
S2
a
c
S1
b
English     Русский Rules