Движение тела вокруг неподвижной точки. Случай Эйлера (продолжение)

1. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 7:
ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ
ТОЧКИ. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)

2. 1. Напоминание: эллипсоид инерции

z
2a
z
z0
2b
y0
y
x0
2c
x
x
C M b2 a 2 3
A M b2 c 2 3
B M c2 a 2 3
y
Ax 2 By 2 Cz 2 1
C A B
y0
1
1
1
x0
z0
B
A
C
Общий вид эллипсоида инерции «похож» на форму однородного тела
При геометрической интерпретации вращения ТТ удобно мысленно
заменить его («вырезать из него») соответствующий эллипсоид инерции

3. 2. Геометрическая интерпретация Пуансо

Эллипсоид инерции
Ax 2 By 2 Cz 2 1
эллипсоид
P - точка пересечения ЭИ с мгновенной осью вращения
инерции
проходит через P и касается ЭИ
центр
1) Величина угловой скорости пропорциональна
вращения
длине радиуса-вектора точки Р относительно О
OP ω x p p, y p q, z p r
1
2
2
2
2
Ap Bq Cr 1
const
2T
2T
2 Ax p
Ap плоскость Пуансо
2) Плоскость
Bq 2 K
N
2
By
2
перпендикулярна
p
O
Cr
кинетическому моменту К0
2Cz
p
3) Проекция OQ радиуса-вектора ОР на направление кинетического момента К0 есть
величина постоянная.
OQ
Κ O OP
Κ ω
2T
2T
O
const
KO
KO
KO
KO

4. 3. Геометрическая интерпретация Пуансо

Эллипсоид инерции для неподвижной точки катится без
скольжения (А) по плоскости, неподвижной в пространстве (Б);
эта плоскость перпендикулярна кинетическому моменту (В);
угловая скорость тела пропорциональна длине радиуса-вектора
точки касания (Г), а по направлению с ним совпадает (Д).
(А) точка Р лежит на мгновенной оси вращения, и поэтому ее
скорость равна нулю.
(Б) Следствие (2), (3), и того, что K O const
(В) Следствие (2)
(Г) Следствие (1)
(Д) по построению
При движении тела точка Р на эллипсоиде инерции
вычерчивает кривую, которая называется полодией.
Соответствующая кривая на плоскости называется
герполодией.
полодия
герполодия
Если эллипсоид инерции есть эллипсоид вращения, то полодия и герполодия
представляют собой окружности.

5. 4. Интегрирование уравнений Эйлера в общем виде

A B C
A2 p 2 B 2 q 2 C 2 r 2 KO2
Ap 2 Bq2 Cr 2 2T
Bq A C rp 0
dq
1
dt
B AC
p2
1
2TC KO2 B C B q2
A C A
1
KO2 2TA B B A q2
r
C C A
2
KO2 2TC B B C q 2 2TA KO2 B A B q 2
2TA A2 p 2 BAq 2 CAr 2 A2 p 2 B 2 q 2 C 2 r 2 KO2
2
2
TC
K
O 2TA
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2TC ACp BCq C r A p B q C r KO
KO2 2TB
Случай 1
2
3
2 1
2
K
O
Случай 2 2TB KO 2TC
2
Случай 3 2TA KO 2TB
2TC 2TB
2TA

6. 5. Интегрирование уравнений Эйлера (случай 1)

B C 2T Bq2
A A C
A B
2
2T Bq 2
r
C A C
p2
Полодии лежат
в плоскостях
Ур-е
для q
x
C B C
z
A A B
Bq A C rp 0
A B B C
Bq A C
C A C A A C
2T Bq2
2T A B B C
dq
2T Bq 2
,
t
d
ABC
2TB

7. 6. Интегрирование уравнений Эйлера (случай 1)

dq
2T Bq 2
d
2TB
=
2TB
dq d
2
2T Bq
2TB
dq
dq
c
c2 q2
2T Bq2
c
2T
B
1 c q
const= ln
2 c q
Полодия 1
q
2T A B 1
r
A A C ch
2T
th const
B
2T B C 1
p
A A C ch
Случай 1 : движение неустойчиво

8. 7. Интегрирование уравнений Эйлера (случай 2)

2TB KO2 2TC
dq
1
dt
B AC
подстановка
t0
q
KO2 2TC B B C q 2 2TA KO2 B A B q 2
K
2
O
2TC
B B C
Q
ABC
B C 2TA KO2
dQ
t0
dt
1 Q 1 k Q
2
2
2
2
A
B
K
O 2TC
2
k
1
2
B C 2TA KO
t
d
Q 1 Q sin
1 k 2 sin 2
t0
d
d
const
F , k эллиптический интеграл первого рода
2
2
0 1 k sin
полный эллиптический интеграл первого рода
K k F / 2, k
F 2 , k F , k 4K
Q периодична с периодом 4K k

9. 8. Интегрирование уравнений Эйлера (случай 2)

Функция, являющаяся результатом обращения эллиптического интеграла
первого рода, называется амплитудой и обозначается am ,k
Функции эллиптический синус (sn) и эллиптический косинус (cn) определяются как
sn , k sin am , k , cn , k cos am , k
они периодичны с периодом 4K
Функция дельта амплитуды (dn) определяется как dn , k 1 k sn
2
2
, k
sn2 cn2 1
Некоторые полезные формулы
k 2 sn2 dn2 1
d
sn cn dn
d
d
cn sn dn
d
При
k 0 am ,k sn , k sin
dn , k 1 cn , k cos

10. 9. Интегрирование уравнений Эйлера (случай 2)

KO2 2TC
q
sn , k
B B C
1
2
2TC KO2 B C B q2
p
A C A
2TC KO2
1 sn 2 , k
A C A
2
cn
, k
2
KO 2TC
p
cn , k
A A C
2TB KO2 2TC
2TA KO2
dn , k
Аналогично r
C A C
В пределе
KO2 2TC
p q 0, r стационарное вращение вокруг оси z

11. 10. Интегрирование уравнений Эйлера в общем виде (случай 3)

Случай 3
2TA KO2 2TB
A B KO2 2TC
2TA KO2
q
sin
t
B A B
ABC
2
B
C
2
TA
K
O
d
2
2
2
k
1
1
k
sin
2
d
A B KO 2TC
p
KO2 2TC
2TA KO2
2TA KO2
dn , k , q
sn , k , r
cn , k
A A C
B A B
C A C
В пределе
KO2 2TA
r q 0, r
стационарное вращение вокруг оси x

12. 11. О герполодиях

QP OP 2 OQ 2
2
2T
2T
KO2
Для стационарных вращений герполодия совпадает с точкой Q
В общем случае A B C при KO2 2TB
p 2 q 2 r 2 изменяется периодично и
достигает минимума и максимума; им
отвечают 1 , 2
Дуга ab отвечает четверти полной полодии
После того как будет описана полная полодия вектор QP повернется н
4 Если / -рационально, то герплодия замкнется
угол
В общем случае A B C при KO2 2TB
Каждой из полодий 1-4 соответствует герполодия, являющаяся
спиралью, навивающейся на точку Q. Эта спираль бесконечно много
раз обходит точку Q. Однако ее общая длина конечна, так как она
равна длине соответствующей дуги полодии

13. 12. Определение ориентации тела в абсолютном пространстве

(1) KOx Ap KO sin sin
(2) KOy Bq KO sin cos
(3) KOz Cr KO cos
cos
Cr
Ap
, tg
KO
Bq
угол нутации
угол вращения
p sin sin
p sin q cos
угол
КС q sin cos прецессии
sin
r cos
Ap 2 Bq2
Ap 2 Bq2
Из (3) KO 2 2
Из (1),(2)
2
KO sin
A p B 2 q2
ДУ для нахождения
t
p t , q(t ), r(t ) периодичны с периодом Т cos , cos периодичны с периодом Т
T
Ap 2 (t ) Bq2 (t )
cos (t T ) cos (t )
( t T ) ( t ) KO 2 2
dt c 0
2 2
A p (t ) B q (t )
0
Если число c / 2 не рационально, то твердое тело никогда не возвратится к своей
первоначальной ориентации в абсолютном пространстве.