Similar presentations:
Необходимый признак сходимости
1.
Если ряд сходится, то предел его общегочлена un при n равен нулю:
lim u n 0
n
2.
Выразим n-ый член ряда через сумму его n и(n-1) членов:
un S n S n 1
Так как ряд сходится, то
lim S n S
n
lim S n 1 S
n
lim un lim ( S n S n 1 ) 0
n
n
3.
Если предел общего члена ряда un приn
не равен нулю:
lim un 0
n
то ряд расходится.
4.
Исследовать сходимость ряда4n 3
n 1 5n 7
4n 3 4
lim
0
n 5n 7
5
Ряд расходится.
5.
Данная теорема выражаетнеобходимый, но не достаточный
признак сходимости: если
lim u n 0
n
то из этого еще не следует, что
ряд сходится.
6.
Исследовать сходимостьгармонического ряда
1 1
1
1 ... ...
2 3
n
7.
1lim 0
n n
Необходимый
признак
сходимости
выполняется. Покажем, что не смотря на это,
ряд будет расходится.
Запишем сумму первых 2n и n членов ряда:
S2n
1 1
1
1
1
1 ...
...
2 3
n n 1
2n
8.
S2n1 1
1
S n 1 ...
2 3
n
1
1
1
Sn
...
n 1 n 2
2n
В этой сумме заменим каждое слагаемое
1
меньшим, равным
Получим неравенство:
2n
S2n
1
1
1
1
Sn
...
2n 2n
2n 2
n раз
S2n
1
Sn
2
9.
Если бы ряд сходился, тоlim S n lim S 2 n S
n
n
В нашем случае:
lim S n lim S 2 n S S 0
n
n
Получается
противоречие,
данный ряд расходится.
следовательно