Ортогональность системы тригонометрических функций

1.

Важным свойством системы тригонометрических
функций (2) является их ортогональность на отрезке
[-П,П].
Ортогональность понимается следующим образом:

2.

Интеграл по этому отрезку от произведения
любых двух функций этой системы
-равен нулю, если в подынтегральную функцию
входят различные функции системы (2);
-равен положительному числу, если
подынтегральная функция состоит из квадрата
любой функции системы (2).

3.

Проверим это свойство для всех функций системы.
1
k n,
k , n 0,1,2...

4.

1
cos kx cos nxdx 2 cos(k n) x cos(k n) x dx
1
1
cos( k n)xdx cos( k n)xdx
2
2
1 1
1
sin( k n) x
sin( k n) x
2 k n
k n
1 1
1
sin( k n)
sin( k n)
2 k n
k n
1
1
sin( k n)
sin( k n) 0
k n
k n

5.

1
sin kx sin nxdx 2 cos(k n) x cos(k n) x dx
1
1
cos( k n)xdx cos( k n)xdx
2
2
1 1
1
sin( k n) x
sin( k n) x
2 k n
k n
1 1
1
sin( k n)
sin( k n)
2 k n
k n
1
1
sin( k n)
sin( k n) 0
k n
k n

6.

1
sin kx cos nxdx 2 sin( k n) x sin( k n) x dx
1
1
sin( k n)xdx sin( k n)xdx
2
2
1 1
1
cos( k n) x
cos( k n) x
2 k n
k n
1 1
1
cos( k n)
cos( k n)
2 k n
k n
1
1
cos( k n)
cos( k n) 0
k n
k n

7.

2
k n,
k , n 0,1,2...

8.

1
cos nxdx 2 1 cos 2nx dx
2
1
1
1
1
dx cos 2nxdx x
sin 2nx
2
2
2
2n
1
1
1
sin 2n sin 2n
2
2n
2n

9.

1
sin nxdx 2 1 cos 2nx dx
2
1
1
1
1
dx cos 2nxdx x sin 2nx
2
2
2
2n
1
1
1
sin 2n sin 2n
2
2n
2n