Ортогональные функции Ортогоналды функциялар
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі
Периодические функции
Периодические функции
Ряд Фурье
Обозначим скалярное произведение функций
Система для определения коэффициентов ряда Фурье
Ряд Фурье
Ряд Фурье
Ряд Фурье
Ряд Фурье
Ряд Фурье
Ряд Фурье Непериодические функции
Ряд Фурье Непериодические функции
Ряд Фурье Непериодические функции
328.50K
Category: mathematicsmathematics

Ортогональные функции

1. Ортогональные функции Ортогоналды функциялар

φ(t) , ψ(t)
[a,b]
b
(t ) (t )dt
a
0

2. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

b
(
t
)
(
t
)
dt
0
,
n
m
a
n m;
b
n, m 0,1,...
2
[
(
t
)
]
n dt n 0
a

3. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

n 1
Нормальная система
n (t )
{
}
n

4. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

{1, cos(t), sin(t), cos(2t), sin(2t),…,cos(nt), sin(nt),…} –
система ортогональна на промежутке длиной 2π
1 cos(t ) sin( t ) cos( 2t ) sin( 2t )
{
,
,
,
,
,...}
2
- на промежутке длиной 2π нормальная система
На [0, π] не будет ортогональной

5. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

Проверить на ортогональность:
2
cos(t )dt ,
0
2
cos(t ) sin( t )dt
0
2
cos(t ) cos(t )dt
0
cos(t )dt,
0
cos(t ) sin( t )dt 0,
0
cos(t ) cos(t )dt
0

6. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

Полиномы Лежандра
1
dn 2
Pn (t ) n
n (t 1) n
2 n! dx
, n=0,1,2,…
на интервале [-1,1].
3
1
5
3
P0 (t ) 1; P 1(t ) t ; P 2 (t ) t 2 ; P3 (t ) t 2 t ,
2
2
2
2

7. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

1
2
1[ Pn (t )] dt 2n 1
2
1
n
2

8. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

Полиномы Лагерра
1 t d n n t
Ln (t ) e
(t e )
n
n! dt
на интервале [-1,1].
1
L0 (t ) 1; L1 (t ) t 1; L2 (t ) t 2 2t 1
2

9. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

Полиномы Лагерра
2
ïðè m n
1 Pm (t ) Pn (t )dt 2n 1
0
ïðè m n
1

10. Ортогональная система функций Ортогоналды функциялар жүйесі

Полиномы Чебышева
Tn (t )
2
cos( n arccos t ), n 1.
на интервале [-1,1].
1
2
8 2 1
32 3 3
T0 (t )
; T1 (t )
; T2 (t )
(t ); T3 (t )
(t t ).
x
2
4

11. Периодические функции

f (t )
A
k 1
k
cos( k t k )
2
T
f (t ) Ak cos( k t k )
k 1

12. Периодические функции

1
1
sin t sin 2t sin 3t
2
4
1,20
1,00
0,80
0,60
Ряд1
0,40
0,20
0,00
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

13. Ряд Фурье

a0
f (t )
a k cos( kt bk sin kt)
2 k 1
-ряд Фурье

14.

Определение коэффициентов ряда Фурье
a0
S { f (t ) [ ak cos( kt) bk sin( kt)]}2 min
2 k 1

15. Обозначим скалярное произведение функций

T
( т , m ) n (t ) m (t )dt ;
0
T
( т , f ) n (t ) f (t )dt
0

16. Система для определения коэффициентов ряда Фурье

a0 ( 0 , 0 ) + a1 ( 0 , 1 ) + … + aN ( 0 , N ) = ( 0 , f);
…………………………………………………
a ( , ) + a ( , ) + … + a ( , ) = ( , f).
1
1
N
N
N
N
N
0 0 N

17. Ряд Фурье

a0
f (t ) ak cos( kt) bk sin( kt)
2 k 1
a0
ak
bk
1
1
1
f (t )dt
f (t ) cos ktdt, k 1,2,3,...
f (t ) sin ktdt, k 1,2,3,...

18. Ряд Фурье

f(t) – четная
на
a0
2
f (t )dt
0
f(t) – нечетная на
bk
2
[ , ], bk 0
2
ak f (t ) cos ktdt, k 1,2,3,...
0
[ , , ], ak a0 0
f (t ) sin ktdt, k 1,2,3,...
0

19. Ряд Фурье

Пример 1
a, 0 t
f (t )
a, t 2
a0 0,
ak 0, k 1, ,2,3.....

20. Ряд Фурье

Пример 1
bk
2
f (t ) sin ktdt
0
2
a sin ktdt
0
2a
[ cos kt]
k
0
2a
[ cos k 1]
k
0, k chet
2a
[1 ( 1) k ] 4a
k
, k nechet
k
4a
1,
1
f (t )
[sin t sin 3t sin 5t ...]
3
5
A1
4a
A2 0
4a
A3
3
....
1
k
2

21. Ряд Фурье

Пример 1
1,4
1,2
1
0,8
Ряд1
0,6
0,4
,
0,2
0
-0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-0,4
-0,6
Ряд2
Ряд3

22. Ряд Фурье Непериодические функции

Пример 2
f (t ) t
[ , ]
,

23. Ряд Фурье Непериодические функции

Пример 2
a0
2
tdt
0
0, k chet
2
k
a k t cos ktdt ... 2 [( 1) 1] 4
0
, k nechet
k
k 2
2
,
4 cos t cos 3t cos 5t
f (t ) ( 2 2 2 ...)
2 1
3
5

24. Ряд Фурье Непериодические функции

4 cos t cos 3t cos 5t
f (t ) ( 2 2 2 ...)
2 1
3
5
3,5
3
,
2,5
2
Ряд1
1,5
Ряд2
1
Ряд3
0,5
Ряд4
0
Ряд5
-0,5
-1
-1,5
1
2
3
4
5
6
7
English     Русский Rules