Периодические функции, 10 класс

1. Периодические функции

Алгебра и начала анализа, 10 класс
(профильный уровень)
А.Г.Мордкович, П.Е.Семёнов
Учитель Волкова С.Е.

2. Определение 1

Говорят, что функция
y = f (x), x ∈ X имеет период Т, если для
любого х ∈ Х выполняется равенство
f (x – T) = f (x) = f (x + T).
Если функция с периодом Т определена в точке х,
то она определена и в точках
х + Т, х – Т.
Любая функция имеет период, равный нулю
при Т = 0 получим f(x – 0) = f(x) = f(x + 0).

3. Определение 2

Функцию, имеющую отличный от нуля период
Т, называют периодической.
Если функция y = f (x), x ∈ X имеет период Т, то
любое число, кратное Т (т.е. число вида кТ, к ∈ Z),
также является её периодом.

4. Доказательство

Пусть 2Т – период функции. Тогда
f(x) = f(x + T) = f((x + T) +T) = f(x +2T),
f(x) = f(x - T) = f((x - T) -T) = f(x - 2T).
Аналогично доказывается, что
f(x) = f(x + 3T) = f(x - 3T),
f(x) = f(x + 4T) = f(x - 4T) и т.д.
Итак, f(x - кТ) = f(x ) = f(x + кT)

5. Наименьший период среди положительных периодов периодической функции называется основным периодом данной функции.

6. Особенности графика периодической функции

Если Т – основной период функции y = f(x), то
достаточно:
- построить ветвь графика на одном из
промежутков длины Т
- выполнить параллельный перенос этой ветви вдоль
оси х на ±Т, ±2Т, ±3Т и т.д.
Обычно выбирают промежуток с концами в точках
Т
Т
( ;0)и ( ;0)
2
2

7. Свойства периодических функций

1.Если f(x) – периодическая функция с периодом Т,
то функция g(x) = A f(kx + b), где к>0, также
является периодической с периодом Т1= Т/к.
2.Пусть функция f1(x) и f2(x) определены на всей
числовой оси и являются периодическими с
периодами Т1 > 0 и Т2 >0. Тогда при Т1/Т2 ∈Q
функция f(x) = f(x) +f2(x) – периодическая функция
с периодом Т, равным наименьшему общему
кратному чисел Т1 и Т2.

8. Примеры

1. Периодическая функция y = f(x) определена для
всех действительных чисел. Её период равен 3
и f(0) =4. Найти значение выражения 2f(3) – f(-3).
Решение .
Т = 3,
f(3) =f(0+3) = 4,
f(-3) = f(0–3) =4, f(0) = 4.
Подставив полученные значения в выражение
2f(3) – f(-3), получим 8 - 4 =4.
Ответ: 4.

9. Примеры

2. Периодическая функция y = f(x) определена для
всех действительных чисел. Её период равен 5,
а f(-1) = 1.Найти f(-12),если 2f(3) – 5f(9) = 9.
Решение
Т= 5
F(-1) = 1
f(9) = f(-1 +2T) = 1⇨ 5f(9) = 5
2f(3) = 9 + 5f(9) = 14 ⇨f(3)= 7
F(-12) = f(3 – 3T) = f(3) = 7
Ответ:7.

10. Используемая литература

А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала
анализа (профильный уровень), 10 класс
А.Г.Мордкович, П.В.Семёнов. Алгебра и начала
анализа (профильный уровень), 10 класс.
Методическое пособие для учителя