Аналитическая геометрия

1. Математика

Аналитическая геометрия

2. Алгебраические поверхности и линии на плоскости первого порядка

Опр. Геометрическое место точек
в пространстве (на плоскости)
определяет плоскость (прямую на
плоскости)
тогда и только тогда, когда декартовы
координаты x, y, z текущей точки М
удовлетворяют алгебраическому
уравнению первого порядка
2

3.

В пространстве
F ( x, y, z ) 0 поверхность
На плоскости
линия
F ( x, y) 0
плоскость
прямая
Ax By Cz D 0
N ( A, B, C )
Ax By C 0
Введем вектор N
N ( A, B)
Вектор N называется нормальным вектором
(нормалью) плоскости и прямой на плоскости
Введем радиус-вектор текущей точки
r x, y, z
(r , N ) D 0
r x, y
(r , N ) C 0
3

4. Геометрический смысл нормального вектора

Задача 1. На плоскости дана точка M 0 (r0 ) M 0 ( x0 , y0 )
и вектор N ( A, B) . Составить уравнение прямой на
плоскости, проходящей через точку M 0
перпендикулярно вектору.
y
M0
Рассмотрим текущую точку прямой
M (r ) M ( x, y)
N
r0
0
r
тогда вектор M 0 M r r0 ( x x0 , y y0 )
лежит на данной прямой.
М
x
M 0M N (M 0M , N ) 0
(r , N ) (r0 , N ) 0
Ax By ( x0 A y0 B ) 0
(r r0 , N ) 0
A( x x 0 ) B( y y 0 ) 0
4

5.

Нормальный вектор – вектор,
перпендикулярный прямой.
5

6.

Задача 2.
В пространстве дана точка M 0 (r0 ) M 0 ( x0 , y0 , z0 ) и
вектор N ( A, B, C ). Составить уравнение плоскости,
проходящей через точку перпендикулярно вектору.
N
z
M (r ) M ( x, y, z )
M0
r
x
0
вектор M 0 M r r0 ( x x0 , y y0 , z z0 )
лежит на плоскости.
М
r0
Рассмотрим текущую точку прямой
y
M 0M N (M 0M , N ) 0
(r r0 , N ) 0
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
(r , N ) (r0 , N ) 0
Ax By Cz ( x0 A y0 B z0C ) 0
6

7.

Нормальный вектор – вектор,
перпендикулярный плоскости.
7

8. Уравнения в отрезках

Общее уравнение плоскости Общее уравнение прямой
Ax By Cz D 0 на плоскости Ax By C 0
Пусть D 0 тогда
y
x
z
1
D/ A D/ B D/C
Обозначим D
D
D
a ,b ,c
A
B
C
Получим x y z 1
a
b
c
Z
с
а
Х
Пусть C 0 тогда
y
x
1
C/ A C/B
C
C
a ,b
A
B
x y
1
a b
У
b
b
а
У
О
8
Х

9. Исследование уравнения прямой

1.
A 0, B 0, C 0
Ax By C 0
x y
1
a b
2.
A 0, B 0, C 0
3.
A 0, B 0, C 0
y
b
О
а
x
y
Ax By 0,
x y
b
0, y x
a b
a
x
О
By C 0
y
y b
b
О
x
9

10.

4.
A 0, B 0, C 0
y
Ax C 0
x a
О
5.
A 0, B 0, C 0
Ax 0
а
y
х=0
x 0
x
О
6.
By 0
A 0, B 0, C 0
y 0
x
y
у=0
О
x
10

11. Исследование общего уравнения плоскости

1. Ax By Cz D 0
Z
x y z
1
а
a b c
Х
2. A 0, B 0, C 0, D 0
с
b
У
Z
Ax By Cz 0
O(0,0,0) P
У
Х
11

12.

3а. A 0
P||OX
3б. B 0
P||OY
3в. C 0
P||OZ
By Cz D 0
y z
1
b c
b
У
Х
Ax Cz D 0
x z
1
a c
Ax By D 0
x y
1
a b
Z
с
Z
с
а
У
Х
Z
b
а
У
Х
12

13.

4а.
Cz D 0
A 0, B 0
P||XOY
4б.
A 0, C 0
By D 0
P||XOZ
4в.
Ax D 0
B 0, C 0
Z
P||YOZ
У
Х
13

14.

Z
5а. B 0, C 0, D 0
x 0
плоскость YOZ
0
Х
У
Z
5б. A 0, C 0, D 0
y 0
плоскость XOZ
0
У
Х
5в. A 0, B 0, D 0
z 0 плоскость XOY
Z
0
У
Х
14

15. Параметрическое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

l . Записать уравнение
Дана точка M 0 и вектор
прямой, проходящей
через эту точку параллельно
вектору l .
Опр. Вектор, параллельный
У
данной прямой или лежащий
М0(х0,у0)
на этой прямой, называется
l (m, n)
направляющим вектором
r0
М(х,у)
прямой.
r
О
M 0M t l
r r0 t l
r r0 t l , где t – параметр
15
Х
M 0 M || l

16.

Прямая на плоскости
M 0 ( x0 , y 0 )
l (m, n)
x x 0 tm
y y 0 tn
Прямая в пространстве
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
l (m, n, p )
x x 0 tm
y y 0 tn
z z tp
0
16

17. Каноническое уравнение прямой на плоскости и в пространстве

Если исключить параметр t из
параметрического уравнения, то получим
каноническое уравнение прямой.
на плоскости
x x0 y y 0
m
n
в пространстве
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
17

18. Уравнение прямой проходящей через две точки М1 и М2

на плоскости
в пространстве
M 1 ( x1 , y1 ), M 2 ( x 2 , y 2 ) M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 )
M ( x, y, z )
M ( x, y)
l M 1M 2
M 1 M 2 ( x 2 x1 , y 2 y1 ) M 1 M 2 ( x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1 )
x x1
y y1
x 2 x1 y 2 y1
x x1
y y1
z z1
x 2 x 1 y 2 y1 z 2 z 1
18

19. Параметрическое уравнение плоскости

Дана точка M 0 (r0 ) и два неколлинеарных вектора a и b
Составить уравнение плоскости, проходящей
через
точку M 0 параллельно векторам a и b .
z
Векторы M 0 M , a , b компланарны,
a
линейно зависимы один из
b
M0
них является линейной
М
r0
комбинацией остальных, т.е.
r
0
x
y
p, q – параметры
r r0 pa qb
r r0 pa qb
x x 0 pa1 qb1 ,
или y y 0 pa 2 q b2 ,
z z 0 pa3 qb3 .
19

20. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторам

Т.к. векторы M 0 M , a , b
( r r0 , a , b ) 0
компланарны, то
x x0
a1
y y0
a2
z z0
b1
b2
b3
a3
0
20

21. Уравнение плоскости, проходящей через три точки

M 1 ( x1 , y1 , z1 )
Векторы
M1
M2
М
M3
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
M 1M
M 1M 2
M 3 ( x3 , y 3 , z 3 )
M 1M 3
компланарны
M M ,M M ,M M 0
1
1
2
1
3
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z 2 z1 0
x 3 x1
y 3 y1
z 3 z1
21

22. Спасибо за внимание

22