Similar presentations:
Аналитическая геометрия
1. Модуль 2
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ2. Плоскость и её основные уравнения
• Рассмотрим плоскость P впрямоугольной декартовой
системе координат.
3.
• Положение плоскости вполнеопределяется
точкой
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) P
и вектором нормали
n ( A, B, C ) P (n 0)
4.
5.
• Возьмём любую точкуM ( x, y, z ) P
и построим вектор
M 0 M ( x x0 , y y 0 , z z 0 )
6.
• Так как n M 0 M , то скалярноепроизведение
или
n M 0 M 0,
A( x x0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0.
7.
• Получили уравнение плоскости,заданной
точкой M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )
и вектором нормали n ( A, B, C )
8.
• Если в уравненииA( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
раскрыть скобки и обозначить
D Ax 0 By 0 Cz 0
то получим общее уравнение
плоскости:
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2
9.
• Теорема. Всякое уравнениевида
Ax By Cz D 0
( A B C 0)
2
2
2
определяет некоторую
плоскость в пространстве.
10.
• Если в этом уравнении какойлибо из коэффициентов A, B, Cравен нулю, то плоскость
расположена параллельно той
оси, координата которой
отсутствует в уравнении.
11.
• Например, при A = 0 плоскостьBy + Cz + D = 0 параллельна оси
Ox; при A = B = 0 плоскость Cz +
D = 0 параллельна осям Ox и
Oy, т.е. плоскости xOy и т.д.
12.
• Пусть в уравненииAx By Cz D 0
ни один из коэффициентов не
равен 0. Перепишем это
уравнение в виде
Ax By Cz D
разделим обе части этого
равенства на - D и обозначим
13.
DD
D
a, b, c
A
B
C
Получим уравнение плоскости в
отрезках:
x y z
1,
a b c
14.
• где a, b, c – это величинынаправленных отрезков,
отсекаемых плоскостью на осях
координат
15.
16.
• Если три точкиM 1 ( x1 , y1 , z1 )
M 2 ( x2 , y 2 , z 2 )
M 3 ( x3 , y 3 , z 3 )
не лежат на одной прямой, то
через эти точки проходит
единственная плоскость:
17.
18.
• Уравнение плоскости,проходящей через три точки,
имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x 2 x1
y 2 y1
z 2 z1 0.
x3 x1
y 3 y1
z 3 z1
19.
• Пусть даны двеP1 : A1 x B1 y C1 z D1 0
и
P2 : A2 x B2 y C2 z D2 0
• Угол φ между двумя
плоскостями
равен углу между
их векторами
нормали:
20.
cosn1 n2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A B C A B C
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
21.
• Расстояние d отточки
M 1 ( x1 , y1 , z1 )
до
Axплоскости
By Cz D 0
определяется по
|
Ax
By
Cz
D
|
1
1
1
формуле
d
2
2
2
A B C
22.
• Пример. Даны дветочки
M ( 2, 0, 1)
M (1, 4, 2)
1
2
Записать
уравнение
M 1M 2 .
плоскости,
проходящей через
точку M1
перпендикулярно
23.
• Решение.Поскольку
искомая
M 1M 2
плоскостьn
перпендикулярна
M 1 M 2 (3, 4, 1)
вектору
, то в
к ачестве вектора
нормали
возьмем вектор
24.
25.
• Подставив теперьуравнение
Aв
(x
x 0 ) B( y y 0 ) C ( z z 0 ) 0
A 3, B 4, C 1
а
также
x0 2, y 0 0, z 0 1
координаты точки
M1:
получим
26.
3( x 2) 4( y 0) 1( z 1) 0или
3x 4 y z 5 0
– это и есть
искомое общее
уравнение
плоскости
27. Прямая в пространстве и её основные уравнения
• Рассмотримпрямую l в
прямоугольной
дек артовой
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 ) l
системе
координат
.
(m, n, p) || l
Положениеs прямой
28.
29.
• Возьмем любуюM ( x, y, z) l
точку
Mи
0 M || s
построим вектор
, из условия
коллинеарности
этих векторов
получим
x
x
y
y
z
z
0
0
0
канонические
уравнения
m
n прямой
p
в пространстве:
30.
• Обозначимкоэффициент
пропорционально
сти через
параметр t и
выразим через t
переменные
x x 0 mt , x, y,z.
Приходим
к
y y 0 nt,
параметрическим
z z pt,
уравнениям
0
31.
• Уравнение прямой,проходящей через
две точки M1(x1, y1, z1) и
M2(x2, y2, z2) , имеет вид:
x x1
y y1
z z1
.
x2 x1 y 2 y1 z 2 z 1
32.
• Рассмотрим двеплоскости P 1 : A1x + B1y
+ C1z+ D1 = 0 и
P 2 : A2x + B2y + C2z+ D2 = 0.
Если эти
плоскости не
параллельны, то
они пересек аются
по прямой,
задаваемой
33.
A1 x B1 y C1 z D1 0,A
x
B
y
C
z
D
0
.
2
2
2
2
• Эта система
называется общим
уравнением
прямой в
пространстве.
34.
• Угол φ между двумяпрямыми l1 и l2
равен углу между
их направляющими
s1 (m1 , n1 , p1 ) s 2 (m 2 , n 2 , p 2 )
векторами
s1 s 2
mи
1 m 2 n1 n 2 p1 p 2
cos
2
2
2
2
2
2
| s1 || s 2 |
m1 n1 p1 m 2 n 2 p 2
35.
• Угол ψ междуx x0 y y 0
прямой
m
n
z z0
p
и плоскостью Ax + By
+ Cz + D = 0
определяе
| Am тся
Bn Cpпо
|
sinформуле
2
2
2
2
2
2
A B C m n p
36.
• Пример.Составить
к анонические и
параметрические
уравнения прямой,
проходящей через
точки M1(3; 2; -1) и M2(4; 2;
1).
37.
• Решение.Подставляем в
формулу
координаты точек
M1x(3; 2;3-1) иyM 2(4;
2 2; 1):z 1
4 3
2 2
1 1
38.
• илиx 3 y 2 z 1
1
0
2
– к анонические
уравнения прямой
(нуль
в
s (1, 0, 2)
знаменате
ле
означает
, что
направляющий
вектор
39.
• Запишемпараметрические
уравнения прямой:
x 3 y 2 z 1
t
1
0
2
x 3 t,
x 3 t,
y 2 0, z 1 2t ,
y 2, z 1 2t
40. Прямая на плоскости и её основные уравнения
• Уравнение прямойс угловым
коэффициентом
k
y kx b
имеет вид
y y 0 k ( x x0 )
или
41.
где k = tg α – угловойкоэффициент
прямой, b –
величина отрезк а,
отсек аемого этой
прямой на оси Oy,(x0,
y0) – точк а, лежащая
на прямой.
42.
43.
• Кроме того,прямую l на
плоскости можно
задатьnвектором
( A, B) l
нормали
M
(
x
,
y
)
l
0 0
0
и точкой
44.
45.
• Получим триуравнения,
аналогичные
уравнениям для
A( x x0 ) B( y: y 0 ) 0
плоскости
– уравнение
прямой, заданной
46.
Ax By C 0– общее уравнение
прямой;
x y
1
a b
– уравнение
прямой в
47.
• Прямая l наплоскости также
определяется
s
(
m
,
n
)
||
l
направляющим
вектором
M
(
x
,
y
)
l
0 0
0
и точкой
48.
49.
• Получим еще 3уравнения,
аналогичные
уравнениям
x x0 в y y 0
прямой
пространстве:
m
n
50.
–x x0 mt ,
y y 0 nt
параметрические
x
x
y
y
1 прямой
1
уравнения
;
x 2 x1
y 2 y1
– уравнение
прямой,
проходящей через
51.
• Угол между двумяпрямыми,
заданными
y k1 x b1
уравнениями:
l1: y k x b
и
2
2
k 2 k1
tg найти по
можно
1 k1 k 2
формуле
l2:
52.
• при этомl1 l 2
т
. е. ,
k1k 2 1,
1
k1
k2
l1 || l2 k1 k2 .
53.
• Расстояние d отточки M1(x1, y1) до
прямойAx + By + C = 0
вычисляется по
формуле
d
| Ax1 By1 C |
2
A B
2
54.
• Пример. Записатьуравнения прямых,
проходящих через
точку M(– 2, 1)
параллельно и
перпендикулярно
прямой
3x – 4y + 12 = 0.
55.
• Решение.Перепишем общее
уравнение прямой
3x – 4y + 12 = 0, выразив
из него
переменную y:
3
l: y x 3
4
56.
• Получилиуравнение прямой
с угловым
коэффициентом
k=
l1 || l
3/4. Запишем
уравнение прямой
и проходящей
через точку
3 M(– 2, 1).
k1 k для
Поскольку
4
параллельных
57.
• то3
y 1 ( x 2)
4
или
4 y 4 3x 6,
3x 4 y 10 0.
58.
• Составимуравнение
прямой
l 2 l
, проходящей
через точку
M(– 2,1).
Так к ак угловые
коэффициенты
перпендикулярны
1
4
k 2 связаны
х прямых
k
3
соотношением
59.
4y 1 ( x 2)
3
или
3 y 3 4 x 8,
4 x 3 y 5 0.
• Прямые
изображены на
рис.