Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости

1. Аналитическая геометрия

2. Прямая на плоскости

3.

Определение. Уравнением линии на
плоскости Oxy называется
уравнение, которому удовлетворяют
координаты x и y любой точки
данной линии и не удовлетворяют
координаты любой точки, не лежащей
на этой линии.

4.

Теорема. Всякое уравнение первой
степени Ax By C 0,
где А и В
не обращаются в нуль
одновременно, представляет собой
уравнение некоторой прямой линии на
плоскости Oxy.

5. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

6.

Введем следующие понятия. Вектор,
перпендикулярный прямой l , будем
называть нормалью прямой и
обозначать n . Итак, n l .
Вектор, параллельный прямой,
будем называть направляющим
вектором этой прямой. Обозначим его
a m, p .

7.

Тангенс угла наклона прямой к
положительному направлению оси Ox
будем называть угловым
коэффициентом этой прямой: tg k
у
n
l
a
о
х

8.

Пусть точка M 0 x0 , y0
лежит на
прямой. Точка M x, y -произвольная
точка прямой.
n A, B ;
M ( x, y )
M 0 x0 , y0
.
M 0M n

9.

Тогда скалярное произведение
n M 0 M A( x x0 ) B( y y0 ) 0.

10.

Получили уравнение прямой,
проходящей через заданную точку,
перпендикулярно данному вектору:
A( x x 0) B( y y 0) 0

11. Общее уравнение прямой

Из предыдущего уравнения легко
получаем общее уравнение прямой
Ax By C 0

12. Каноническое уравнение прямой

13.

Пусть M 0 x0 ; y0 l
a m; p
и
M x; y
M 0 x0 ; y 0
a || l
l

14.

Тогда из условия коллинеарности
векторов M 0 M ( x x0 , y y0 )
и a m, p ; получаем каноническое,
т. е. простейшее уравнение прямой:
x x0 y y 0
m
p

15. Пример

Написать уравнения прямых,
проходящих через точку M 0 2, 1
параллельно и перпендикулярно
вектору AB 3, 1 .
x
2
y
1
Первое уравнение
3
1
второе
3( x 2) ( y 1) 0 .
и

16. Уравнение прямой, проходящей через две точки

17.

Пусть
M 1 x1 ; y1 l
M 2 x2 ; y2 l
M ( x, y )
M 2 x2 , y2 ;
M1 x1, y1
M 1 M || M 1 M 2

18.

Координаты этих векторов
пропорциональны:
y y
x x
x x y y
1
2
1
1
2
1
Получили уравнение прямой, проходящей
через две точки.

19. Параметрические уравнения прямой

Приравняем обе части соотношения
x x0 y y0
l
m
к t. Получим параметрические уравнения
прямой
x mt x0
y pt y0

20. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Преобразуем уравнение
к виду
x x1
y y1
x2 x1 y2 y1
y2 y1
y y1
( x x1 )
x2 x1
y2 y1
y
( x x1 ) y1
x2 x1

21.

Обозначив
M 2 x2 , y2 ;
y2 y1
k , y1 kx1 b ,
x2 x1
где k tg ,
получим
y kx b
M1 x1, y1

22. Уравнение прямой ,проходящей через точку

Пусть точка M 0 x0 , y0 лежит на
прямой y k x b . Тогда y0 kx0 b.
Вычтем из первого второе соотношение .
Получим
y y0 k x x0

23. Уравнение прямой в отрезках

x y
1
a b
B (0, b)
b
A(a, 0)
a

24. Взаимное расположение прямых

25. Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданы общими
уравнениями
l1 : A1 x B1 y C1 0, n1 A1 ; B1
l2 : A2 x B2 y C2 0, n2 A2 ; B2

26.

Тогда угол между этими прямыми равен
углу между их нормалями , т. е.
cos
A1 A2 B1 B2
2
A1
2
B1
2
A2
2
B2
.

27.

Пусть даны прямые
l1 : y k1 x b1
l2 : y k 2 x b2
2 1
1
2

28.

Тогда
tg 2 tg 1
k2 k1
tg 2 1
1 tg 1 tg 2 1 k1 k2
k
k
tg
1 k k
2
1
1
2

29. Условия параллельности

Прямые параллельны тогда и только
тогда, когда выполняется одно из двух
условий ( в зависимости от вида
уравнений прямых).
l1 || l2 k1 k 2
A1 B1
A2 B2

30. Условие перпендикулярности

l1 l2 k1 k 2 1
A1 A2 B1 B2 0

31. Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки M 0 x0 , y0 до
прямой Ax By C 0 находят по
формуле
.
d
Ax0 By0 C
A B
2
2

32. Пример

Найти уравнение прямой, проходящей
через точки A1 5, 1
и A2 2,5 .