Прямая на плоскости

1. Аналитическая геометрия

2. Прямая на плоскости

3. Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

4.

n A; B
l
M 0 x0 ; y 0

5.

M 0 x0 ; y 0 l
n A; B l
M x; y l

6.

n A; B
l
M x; y
M 0 x0 ; y 0

7.

M 0 M x x0 ; y y0
n A; B

8.

M 0M n
M 0M n 0

9.

A( x x 0) B( y y 0) 0

10. Общее уравнение прямой

Ax By C 0

11.

C
A( x 0) B y 0
B
C
M 0 0;
B
n A; B l

12. Частные случаи

A
1. C 0, B 0, Ax By 0, y x;
B
y
x

13.

2. A 0, C 0, By 0, y 0;
3. B 0, C 0, Ax 0, x 0;
x=0
y
y=0
0
x

14.

C
4. A 0, B 0, C 0, Ax C 0, x ;
A
y
x

15.

C
5. A 0, B 0, C 0, By C 0, y .
B
y
x

16. Уравнение прямой в отрезках

17.

Ax By C
Ax By 1
C C
y
x
1
C C
B
A
C
C
, b
a
B
A

18.

Y
x y
1
a b
b
a
X

19. Каноническое уравнение прямой

20.

M 0 x0 ; y 0 l
S || l

21.

a m; p
M x; y
M 0 x0 ; y 0
l

22.

S || M 0 M
M 0 M x x0 ; y y0
S m; p

23.

x x0 y y 0
m
p

24. Уравнение прямой, проходящей через две точки

25.

l
M 2 x2 ; y2
M 1 x1 ; y1

26.

l
M x; y
M 2 x2 ; y2
M 1 x1 ; y1

27.

M 1 x1 ; y1 l
M 2 x2 ; y2 l
M x; y l

28.

M 1 M || M 1 M 2
M 1 M x x1 ; y y1
M 1 M 2 x2 x1 ; y 2 y1

29.

y y
x x
x x y y
1
2
1
1
2
1

30. Параметрические уравнения прямой

x x0 y y 0
t
m
p

31.

x x0
t
m
y y0
t
p

32.

x mt x0
y pt y0

33. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y kx b
(7)

34. Уравнение прямой проходящей через точку в заданном направлении

35.

l
• Углом между осью Ох и прямой
наз.
наименьший угол, на который нужно
повернуть вокруг точки M (против часовой
стрелки) ось Ох до совпадения её с
прямой.
l
y
M
x

36.

Y
S0
)
)
l
M 1 x1 ; y1
X

37.

S 0 cos ; cos
cos cos sin
2
S 0 cos ; sin

38.

x x1 y y1
cos sin
sin
x x1
y y1
cos
y y1 tg x x1
y y1 k x x1 8

39.

• Замечание. Если l || Oy , то
tg
2
2
и
не определен. Уравнение прямой
нельзя записать в виде (8).

40. Угол между двумя прямыми

41.

l1 : A1 x B1 y C1 0, n1 A1 ; B1
l2 : A2 x B2 y C2 0, n2 A2 ; B2
l1 : y k1 x b1
l2 : y k 2 x b2

42.

y
l2
2
l1
1
x

43.

tg tg 2 1
tg 2 tg 1
k 2 k1
tg 2 1
1 tg 1 tg 2 1 k1 k 2
k 2 k1
tg
1 k1 k 2

44.

l , l n , n
1
cos
2
1
2
A1 A2 B1B 2
2
A1
2
B1
2
A2
2
B2

45. Условие параллельности

l1 || l2 k1 k 2
A1 B1
A2 B2

46. Условие перпендикулярности

l1 l2 k1 k 2 1
A1 A2 B1 B2 0

47. Расстояние от точки до прямой

48.

l : Ax By C 0
M 0 x0 ; y 0
l
n A; B
M x; y

49.

MM 0 x0 x; y0 y ;
n MM 0 A x0 x B y0 y Ax0 Ax By0 By
Ax0 By0 Ax By Ax0 By0 C ;
n MM 0 n MM 0 cos n MM 0 ;

50.

n MM 0 Ax0 By0 C ;
MM 0
Ax0 By0 C
n

51.

d
Ax0 By0 C
A B
2
2