Плоскость. Уравнения плоскости

1. Плоскость

2. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору

2

3.

n A; B; C
M 0 x0 ; y 0 ; z 0
П
3

4.

n A; B; C
M x; y; z
M 0 x0 ; y 0 ; z 0
П
M 0M n
M 0M n 0
4

5.

M 0 M x x0 ; y y0 ; z z0
A x x0 B y y0 C z z 0 0
5

6. Общее уравнение

Ах Ву Сz D 0.
6

7.

D
A x 0 B y 0 C z 0
C
D
M 0 0;0;
C
n A; B; C
7

8. Уравнение в отрезках

х
у
z
1.
а
b
с
8

9. Уравнение плоскости проходящей через три точки

9

10.

M 2 x2 ; y 2 ; z 2
M 1 x1 ; y 1 ; z1 M 3 x3 ; y 3 ; z3
10

11.

M 2 x2 ; y 2 ; z 2
M x; y; z
M 1 x1 ; y 1 ; z1 M 3 x3 ; y 3 ; z3
11

12.

M 1 M ; M 1 M 2 ; M 1 M 3 компланарны
M 1M M 1M 2 M 1M 3 0
M 1 M x x1 ; y y1 ; z z1
M 1 M 2 x2 x1 ; y 2 y1 ; z 2 z1
M 1 M 3 x3 x1 ; y3 y1 ; z3 z1
12

13.

x x1
y y1
z z1
x2 x1
y 2 y1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
13

14. Угол между плоскостями

cos
n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C 2
A B C
2
1
2
1
2
1
A B C
2
2
2
2
2
2
14

15. Условие параллельности плоскостей

П1 П2
A1 B1 C1
n1 n 2
A 2 B2 C2
15

16. Условие перпендикулярности плоскостей

П1 П2
n1 n2 n1 n2 0
16

17. Расстояние от точки до плоскости

d
Ахо Вуо Сz о D
А В С
2
2
2
17