Лаб_213_—_Гармонический_анализ_сигналов

1.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 213 · ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
Гармонический анализ сигналов
Спектры периодических сигналов, соотношение неопределённостей и АЧХ
RC-цепочек
Гайнутдинов Ренальд, Ибрагимов Роберт · группа Б12-513
МФТИ · измерения 28 октября 2026

2.

Расчёт 1. Синус и прямоугольник
СИНУС, U₀ = 0,968 В
ПРЯМОУГОЛЬНИК, U₀ = 0,991 В
f(t) = U ₀·sin(Ω t), Ω = 2π /T
f = + U ₀ при 0 < t < T/2, иначе −U₀
aₙ = 0 (нечётная × чётная). bₙ = (2/T)·U₀·∫ sin Ωt · sin nΩt
dt: при n = 1 равно U₀, при n ≠ 1 равно 0.
aₙ = 0 (f нечётная). bₙ = (4/T)·U₀·∫₀^(T/2) sin nΩt dt = 2U₀(1
− cos nπ)/(πn).
C ₁ = U ₀, A ₁ = C ₁/√ 2 = 684 мВ
C ₙ = 4U ₀/(π n), нечётные n
Измерено 689 мВ
A₁ = 892 мВ (изм. 881), A₃ = 297 мВ (изм. 273)
Прибор показывает действующее значение: Aₙ = Cₙ / √2

3.

Расчёт 2. Треугольник и пила
ТРЕУГОЛЬНИК, U₀ = 0,979 В
ПИЛА ВНИЗ, U₀ = 0,958 В
f(t) = U₀·(1 − 4|t|/T)
f(t) = −2U₀·t/T, −T/2 < t < T/2
Вершина в t = 0, склоны с наклоном ∓4U₀/T. f чётная,
поэтому bₙ = 0, а aₙ = (4/T)·∫₀^(T/2) f cos nΩt dt = 4U₀(1 −
cos nπ)/(π²n²).
Одна прямая от +U₀ до −U₀, f нечётная, поэтому aₙ = 0.
Интегрирование по частям даёт bₙ = 2U₀·(−1)ⁿ/(πn).
C ₙ = 8U ₀/(π ²n²), нечётные n
A₁ = 561 мВ (изм. 561), A₃ = 62 мВ (изм. 52)
Пила вверх: знак bₙ другой, амплитуды Cₙ те же
C ₙ = 2U ₀/(π n), все n
A₁ = 431 мВ (изм. 440), A₂ = 216 мВ (изм. 212)

4.

Расчёт 3. Гауссов импульс
f(t) = h·exp (−t²/2σ²)
n
ν, кГц
Расчёт, мВ
Изм., мВ
Спектральная плотность гаусса — снова гаусс: ρ(ω) =
hσ√(2π)·exp(−ω²σ²/2).
1
8
644
636
2
16
254
255
3
24
54
52
C ₙ = (2/T)·ρ (nΩ )
h = 1,98 В, T = 125,4 мкс, ширина на полувысоте 37 мкс, σ =
37/2,355 = 15,7 мкс.
Обратная проверка: из C₂/C₁ и C₃/C₁ получается ширина 36,7 и 37,2 мкс

5.

Пункт 1 (задача 1). Спектры совпали с рядом Фурье

6.

Пункт 1 (задача 2). Нули огибающей на n = T/τ , ширина спектра
Δ ν ·τ ≈ 1
Τ/T = 25 %
Τ/T = 50 %
Τ/T = 75 %
Δ ν ·τ = 0,99
Δ ν ·τ = 0,99
Δ ν ·τ = 1,02
первый ноль 64 кГц, τ = 15,4 мкс
первый ноль 32 кГц, τ = 30,9 мкс
64 кГц, пауза T − τ = 15,9 мкс

7.

Пункт 2. АЧХ цепочек: частоты среза ниже расчётных
ЧАСТОТА СРЕЗА Ν_СР
Цепочка
Измерено
Расчёт
C₁ = 100 пФ
100 ± 3
159
C₂ = 200 пФ
59 ± 1,5
80
C₃ = 530 пФ
24,3 ± 0,3
30
кГц; расчёт — 1/(2πRC) при R = 10 кОм
Точки для импульсов 25 % и 50 % легли на
одну кривую: АЧХ — свойство цепочки, а не
сигнала.

8.

Пункт 3. Спектр амплитудно- модулированных колебаний
А) ГАРМОНИЧЕСКИЙ СИГНАЛ
Б) ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ИМПУЛЬС
Три линии: несущая ω₀ и две боковые на ω₀ ± Ω.
Огибающая sin x / x вокруг ω₀, главный лепесток шириной 4π/τ.

9.

Пункт 4. Период, длительность и ширина по трём спектрам
импульсов
Спектр
Шаг линий
T
Первый ноль
τ = 1/ν₀
Δν
25 %
16,0 кГц
62,4 мкс
64 кГц (n = 4)
15,6 мкс
64 кГц
50 %
16,0 кГц
62,4 мкс
32 кГц (n = 2)
31,2 мкс
32 кГц
75 %
16,0 кГц
62,4 мкс
64 кГц (n = 4)
15,6 мкс
64 кГц
T = 1/(шаг линий); τ = T/n₀ по первой пропущенной линии; Δν = n₀/T, Δν·τ = 1.
Спектр 75 % совпадает с 25 %: по нему находится длительность паузы T − τ, а τ = 46,8 мкс берётся с осциллографа.
Осциллограф: T = 62,7 мкс; τ = 15,4 и 30,9 мкс; пауза 15,9 мкс.

10.

Пункт 5. Спектральная плотность пилообразного импульса
ИМПУЛЬС
f(t) = h·t/τ при 0 ≤ t ≤ τ, вне интервала 0.
Интегрирование по частям.
РЕЗУЛЬТАТ
|ρ| = (hτ/x²)·√(x² − 2x sin x + 2 − 2cos x), x = ωτ. Спад
~1/ω, нулей нет.
СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ
В точках nΩ получаем Cₙ = 2U₀/(πn), как у ряда
Фурье. Измеренные линии лежат вблизи кривой.