Лекции 6-9 новые

1.

От квантовой механики и квантовой статистики – назад в
физику конденсированных тел!!!
Конденсированное тело
Атомы, молекулы,
ионы, электроны,
….
Виды связей в конденсированных телах:
• ионная (NaCl,KCl,…);
• ковалентная (гомополярная) (водород);
• ван-дер-ваальсовские (дисперсионные) (Si, SiC, Ge,…;
• металлические (Cu, Na,..)
Во всем этом участвуют
атомы (ионы) и
электроны: ионный остов
и электронные облака
вокруг – можно ли их
условно разделить на две
подсистемы?
Подсистемы конденсированного тела – атомная (ионная) +
электронная – ПОЧЕМУ?
сильно различающиеся массы
частиц
адиабатическое приближение
M 1800 m

2.

2. Колебания кристаллической решетки
2.1. Колебания в одномерной цепочке (один атом в ячейке)
M u n Fn i
i
Fni α(n, i) (u n ui )
Fn, n 1 α (n, n 1)(u n u n 1 )
n-1
n
n+1
Fn 1, n α(n 1, n) (u n 1 u n )
..
M u n α (n, n 1)(u n u n 1 ) α (n 1, n)(u n u n 1 )
M u n α(2u n u n 1 u n -1 )
α(n, n 1) α(n 1, n) α
Вид продольных колебаний:
u n u k exp iω (k)t ikrn u k exp iω (k)t ikna
α
ω (k)
2 eika e ika
M
2

3.

2. Колебания кристаллической решетки
При ka 1 (длинные волны) : ω(k) kaω0 cs k
ω(k) ωM sin(ka/2)
где cs ω0a
Некоторые оценки :
где ω M 2 α/M
a~10 –8 cм;
это обычные звуковые
волны в кристалле
M 2 10 24 г
акустическая ветвь
α 1,6 10 12 эрг/10 16 см 1,6 10 4 эрг/см 2
ω
ω max 4 1,6 10 4 /2 10 23 6 1013 сек
f max ωmax /2π 1013 Гц
k
c / f max 3 1010 / 1013 30 мкм

4.

2. Колебания кристаллической решетки
2.1. Колебания в одномерной цепочке (два атома в ячейке)
Исходные уравнения колебаний атомов:
M
m
M
m
M
Решение уравнений колебаний атомов:
u n,l u 0n,l exp i( ωt krn,l )
m u n α(u n u l 1 ) α(u n u l )
..
..
M u l α (u l u n ) α (u l u n 1 )
..
2α
cos(ka)u 0l 0
m
2α
0
2
0
cos(ka)u n + (ω 2α / M) u l 0
M
(ω2 2α /m)u 0n
(ω2 2α /m)( ω2 2α /M) (4α 2 /mM)cos 2 (ka) 0
α
ω
M*
2
α2
4α 2
sin 2 (ka)
2
M * mM
M* mM/(m M)
ω _ ω _ (k)
синфазные колебания (в фазе) – акустическая ветвь
ω ω (k)
асинфазные колебания (в противофазе) – оптическая ветвь

5.

2. Колебания кристаллической решетки
2.1. Колебания в одномерной цепочке (два атома в ячейке)
Акустические и оптические моды
ω
ωmax
ω min
- акустическая ветвь
- оптическая ветвь
ωmax
_
α
ω
M*
α2
4α 2
2
sin
(ka)
2
M * mM
Если ka 1
2α
M *2 (ka) 2 / a
0
ω
1
M*
mM
На границе ka π/2
2α
ω 2_
(ka) 2
(m M)
( ω / k) ( ω _ / k) 0
При ka π/2
1
1
1
1
ω ( π/2) α
2
2
m
M
m
M
2
2
2
u n /u l
2 α/M максимум на акустической ветви
2α /m ωmax
ωmin
_
2α cos(ka)
exp(ika)
2α mω 2
При k 0
ωmax
2α /M *
/a

6.

2. Колебания кристаллической решетки
2.2.Фононы в конденсированном теле
2.2.1. Понятие фононов
T1 > T2
T
1
ε, p
Тепловое возбуждение
конденсированного
тела
Элементарными возбуждениями
в кристаллических телах являются коллективные
смещения атомов решетки из положений равновесия
Механическое
возбуждение
конденсированного
тела
Теорема:
Переход от индивидуальных движений атомов к
коллективным степеням свободы
p k
ε ω
!!!
В любой системе взаимодействующих атомов элементарными возбуждениями
(если система возбуждена достаточно слабо, например, находится при низких
температурах) являются коллективные смещения атомов из положений
равновесия.

7.

2.2.2. Элементарные возбуждения
и энергетический спектр конденсированного тела
Новая концепция - переход от индивидуальных степеней свободы
отдельных атомов, молекул, электронов, к коллективным степеням
свободы – элементарным возбуждениям (квазичастицам)
ε, p
p
k
«Глядя на океан с палубы корабля,
трудно представить, что океан
состоит не из волн, а из воды»
(А.Эддингтон)
( p ) - энергетический спектр элементарных возбуждений (квазичастиц)
Cуммарная энергия конденсированного тела:
0 св кв
Виды энергетических спектров конденсированных тел
p
2
p2
~ p2
p
p
p

8.

2.2.Фононы в конденсированном теле
2.2.3. Фононный газ
ФОНОНЫ (И.Е.Тамм, 1930г.) – низколежащие (по энергетическим уровням)
коллективные возбуждения кристаллической решетки
В конденсированном теле при нулевой температуре фононы отсутствуют
(положение атомов в узлах – основное состояние конденсированного тела - является
вакуумом для фононов), а их появление связано с нагревом тела
С ростом температуры число фононов растет и их число в коллективном движении атомов является
весьма большой (макроскопической) величиной. Таким образом, возникает картина большого числа
фононов как носителей коллективного возбуждения конденсированного тела. Поскольку фононы могут
возбуждаться поодиночке, а значит, имеют целый спин, то они являются бозе-частицами и подчиняются
в ансамбле статистике Бозе-Эйнштейна. Следует также заметить, что введение фононов только тогда
имеет смысл, если они между собой либо вообще не взаимодействуют, либо взаимодействуют слабо.
Следовательно, сам ансамбль фононов можно рассматривать как газ. В этом случае общую энергию
конденсированного тела можно рассматривать как сумму энергии основного состояния – энергия связи
атомов в положении равновесия и энергия нулевых (квантовых) колебаний атомов (вакуум для
фононов) и суммы энергий отдельных фононов:
E E0
ε(k) E 0
ω(k)
k
k
В кристаллах может быть несколько типов фононов (например, акустические и оптические, причем
при наличии в ячейке j атомов – 3j типов фононов

9.

2.2.3. Фононный газ
В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов n ik
ветви i с волновым вектором k
1
1
n ik n ik (ε i (k)) exp ε i (k)/k BT 1 exp ωi (k)/k BT 1
С точки зрения квантовой (да и классической) механики, нормальные колебания решетки
ведут себя как набор независимых гармонических осцилляторов. Роль координаты
осциллятора играет при этом амплитуда колебания, число фононов является уровнем
.
энергии осциллятора
На каждое колебание приходится средняя энергия
При высоких температурах k
kBTT
B
ε i (k) n ik ωi (k)n ik
число фононов пропорционально температуре
nik k BT/ ωik
Если
kBT
среднее число фононов экспоненциально мало:
n i (k) exp (- ωik /k BT)

10.

2.2.4. Статистика и плотность состояний фононов
Свободная энергия тела есть:
3Nj
F F0 k BT ln 1 exp ε k /k BT
k
3Nj
k
0
f(ω ) f(ω ) g(ω )dω
g(ω ) - плотность состояний фононов (число состояний фононов на интервал частот dω ).
3Nj
g (ω ) 3Nj
ν
ν 1
3j
ν
0
F F0 k BT ln 1 exp ω/k BT g ν (ω )dω

11.

2.2.5. Теплоемкость кристаллической решетки
E
CV
T V
E F T( F/ T)
3j
E F0 exp / k BT g ( ) 1 exp / k BT d
1
1 0
Нужно знать g (ω ) !!!
ν
1). случай высоких температур
E 3jNk BT
ωi (k) k BT
CV 3jNk B 3N0 k B
закон Дюлонга-Пти

12.

2.2.5. Теплоемкость кристаллической решетки
2) случай низких температур
ων (k) csν k
1,2,3
g ν (ω ) = g l (ω ) g t (ω )
Число собственных
колебаний в спектре с абсолютными значениями k в
интервале dk. Минимальный объем, приходящийся на одно значение k равен
(V – объем тела), следовательно, число мод n(k) в интервале dk есть: V/(2π ) 3
n(k)dk (V/2π 3 )4π k 2 dk
Для акустических фононов ωl c sl k, ω t c st k , поэтому получаем
g l (ω )dω Vω 2 dω /(2π 2 c 3l ), g t (ω )dω 2Vω 2 dω /(2π 2 c 3t )
(двойка в последней формуле отражает две поляризации поперечных
акустических фононов). Отсюда получаем:

13.

2.2.5. Теплоемкость кристаллической решетки
3Vk BT
2
F F0
ln
1
exp(
ω/k
T)
ω
dω
B
2 3
2π c 0
x3
π4
I
dx
exp(x) 1
15 x ω/k BT
0
E F T( F/ T)
4π 2 Vk 4BT 3
E
3
c
αT
T
10( c)3
закон Дебая, 1912г.

14.

2.2.5. Теплоемкость кристаллической решетки
2CV / N
Дюлонг - Пти
cV 3NkB
ΘD ωD /k B - температура Дебая
ω max ω D - дебаевская частота
Дебай
Почти всех веществ температура Дебая
существенно ниже температуры
плавления. Вместе с тем, существуют
кристаллы (в частности, He под
давлением), когда выполняется
условие D Tm ( Tm -
D , K
температура плавления). В этом
случае, очевидно, невозможно
классическое описание поведения
атомов конденсированного тела.
Вещество
Pb
Na
Al
Li
Si
Be
B
D , K
88
150
394
400
625
1000
1250

15.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.6. Фононная теплопроводность диэлектриков
q (тепловой поток)
Th
Tc
L
q S
Th Tc
dT
S
- закон Фурье
L
dx
- коэффициент теплопроводности
Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности в конденсированном теле –
фононный механизм переноса тепла
2T
T
2 c ph
x
t

16.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.6. Фононная теплопроводность диэлектриков
Энергия
Параболический потенциал
гармонического осциллятора
ro
Расстояние
Уравнения движения в приближении
ближайших соседей:
d 2 un
M
un 1 un 1 2un
2
dt
Решения уравнений движения:
un uo exp i t exp inka
U0
M
Гармоническое приближение –
фононы не взаимодействуют !!!
a
u
un
n-1
u
n+1
2 ( / m) 2 exp ika exp ika 2( / m) 1 cos ka
2
1 cos ka
1
m
2

17.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД
ПОТЕНЦИАЛА ЛЕННАРД-ДЖОНСА
d 12 d 6
2
36 0
6
U (r ) 4 0 0 2
r d 2
3
r
d 2
r
4
278 0
6 3 1308 0
6
3
r d 2 4
r d 2 ...
d 2
d 34

18.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
Взаимодействие фононов
k1
k2
k3
Взаимодействие фононов – эффект
негармоничности колебаний
конденсированного тела – нет
параболической потенциальной ямы
U
1 2U
1 3U
2
3
U ( x) U ( x0 )
( x x0 )
(
x
x
)
(
x
x
)
...
0
0
2
3
x
2 x
6 x
Негармоничность
(ангармоничность)

19.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.6. Фононная теплопроводность диэлектриков
1
1
ph c ph c s ph c ph c s2 ph
3
3
ph
Увеличение концентрации
дефектов
Механизмы рассеяния фононов:
• Рассеяние на границах образца;
• Рассеяние на дислокациях и дефектах;
• Фонон-фононное рассеяние
ph T
границы
0.01
d
дефекты
0.1
фононное
рассеяние
1.0 T /
D

20.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.6. Фононная теплопроводность диэлектриков
10
3
Теплопроводность, [Вт/м K]
алмаз
10
2
10 1
Возрастание
плотности дефектов
10
0
10
-1
10
-2
10 0
Рассеяние на
дефектах
Граничное
рассеяние
10 1
Температура, [K]
10 2
10 3

21.

Колебания кристалла – фононы (коллективные возбуждения - квазичастицы)
2.2.6. Фононная теплопроводность диэлектриков
Уравнение Больцмана для фононов
Функция распределения фононов: f = f(r,p,t)
p
- вероятность фононам иметь в момент времени t импульс
в точке
r
В термодинамическом равновесии : f = f(r,p,t)= f0, т.е. для ферми-частиц – функция
распределения Ферми-Дирака, для бозонов – Бозе-Эйнштейна
В условиях нарушения термодинамического равновесия:
f
f
v r f F p f
t
t st
Приближение времени релаксации
fo f
f
t st p
f fo
e
t
t