Лекция 3 (Матрицы и определители)

1.

Шматков Р.Н., к.ф.-м.н., доцент
СГУПС (НИИЖТ)
Лекция № 3
Матрицы и
определители (часть 3)

2. План лекции

1.
2.
3.
Определители и их свойства.
Миноры и алгебраические
дополнения.
Вычисление определителей
различных порядков.

3. Список литературы

◼
◼
◼
◼
Виленкин, И.В. Высшая математика для студентов
экономических, естественно-научных специальностей вузов:
учеб. пособие / И.В. Виленкин, В.М. Гробер. – Ростов н/Д:
Феникс, 2008.
Виленкин, И.В. Задачник по математике. Часть 1 / И.В.
Виленкин, О.Е. Кудрявцев, М.М. Цвиль, С.И. Шабаршина. –
Ростов н/Д: Российская таможенная академия, Ростовский
филиал, 2007.
Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для
экономистов: учебник / Под общ. ред. В.И. Ермакова – М.:
ИНФРА – М,2008.
Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебник /
Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Фридман. – М.: Банки и биржи,
ЮНИТИ, 2010.

4. Определители второго и третьего порядков. Их свойства

Понятие определителя вводится только для
квадратных матриц. Рассмотрим
квадратную матрицу 2го порядка:
a11 a12
A =
a 21 a 22
Определителем 2го порядка матрицы
называется число:
a11
( A) =
a21
a12
= a11 a22 − a12 a21
a22

5.

Пусть
a11 a12
A = a21 a22
a
31 a32
a13
a23
a33
– матрица 3го порядка.
Минором элемента aik называется определитель
M ik, составленный из элементов, оставшихся после
вычеркивания из матрицы i -той строки и k-того
столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik
называется число
Aik = (−1) i + k M ik .

6.

Определителем 3го порядка (матрицы )
называется сумма произведений элементов
первой строки матрицы на их
алгебраические дополнения.
a11
( A) = a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23 = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13
a33

7.

Определителем nго порядка (матрицы)
называется (по аналогии с предыдущим)
сумма произведений элементов первой
строки матрицы на их алгебраические
дополнения.
a11 a12
( A) = a21 a22
an1 an 2
a1n
a2 n = a11 A11 + a12 A12 + + a1n A1n
ann

8.

Например:
4 3
1) Пусть A =
.
− 2 5
Тогда
A = 4 5 − 3 ( − 2) = 20 + 6 = 26.
2) Пусть
Тогда
A = 2
6 7
4 8
2 − 3 4
A= 5
6 7 .
− 1 4 8
− (− 3)
5
7
−1 8
+ 4
5
6
−1 4
= 2 20 + 3 47 + 4 26 = 285.

9. Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если
все элементы какой-либо строки (или
столбца) равны нулю, то определитель равен 0.
3. Если две строки (два столбца) поменять местами,
то определитель меняет знак.
4. Если элементы какой-либо строки (столбца)
содержат общий множитель, то его можно
вынести за знак определителя.
5. Если в определителе две строки (два столбца)
одинаковы
или
пропорциональны,
то
определитель равен 0.

10.

6.
Справедливо равенство
a11 + b11
a21
a31
7.
8.
9.
a12 + b12
a22
a32
a13 + b13 a11
a23
= a21
a33
a31
a12
a22
a32
a13 b11
a23 + a21
a33 a31
b12
a22
a32
b13
a23
a33
Определитель не изменится, если к элементам
какой-либо его строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца), умноженные
на одно и то же число.
Сумма произведений элементов любой строки
(столбца) на свои алгебраические дополнения
равна самому определителю.
Сумма произведений элементов любой строки
(столбца) определителя на алгебраические
дополнения другой строки (столбца) равна 0.

11.

Числовая иллюстрация свойств:
3 −5 −8
A=1
9
− 2 = 3 104 + 5 18 − 8 ( − 29) = 634;
4
7
10
3
1
4
AT = − 5
9
7 = 3 104 − 1 6 + 4 82 = 634.
− 8 − 2 10

12.

Числовая иллюстрация свойств:
1 −2 3
0
0
0
1 3
1 −2
−2 3
= 0.
0 0 0 =− 1 − 2 3 =− 0
− 0
+ 0
7 5
7 −8
−8 5
7 −8 5
7 −8 5

13.

Числовая иллюстрация свойств:
3 −5 −8
1
3
− 2 = 3 23 + 5 11 − 8 ( − 5) = 164.
4
7
3
4
7
3
1
3
− 2 = 4 ( − 34) − 7 ( − 2) + 3 ( − 14) = −164.
3 −5 −8

14.

Числовая иллюстрация свойств:
1
2
−3
1
2
− 3 = 1 ( − 14) − 2 17 − 3 ( − 16) = 0.
4 −8
5

15.

Числовая иллюстрация свойств:
2 −1
1
2
−1
1
2 −1 1
21 − 42 63 = 21 1 21 (− 2) 21 3 = 21 1 − 2 3 =
3
4
−2
3
4
−2
3 4 −2
= 21 (2 (−8) + 1 (−11) + 1 10) = −357.

16.

Числовая иллюстрация свойств:
12
1
2
7 + 5 3− 2 5− 3
7
3
5 =
7
5
−2 −3
5
5 −2 −3
7
3
5
3
5 =7
3
5 +7
−2
−3
5 −2 −3
3
5 .
5 −2 −3

17.

Числовая иллюстрация свойств:
1 −2
3
1
−2
3
1
−2
3
2
5
−4 =
2
5
−4
= 2
5
−4 +
8
11
−6
1
−2
3
1 −2
+ 2
5
−4
2 1 + 3 2 2 (− 2) + 3 5 2 3 + 3 (− 4)
3 2 3 5 3 (− 4)
= 2 2
5
1 −2
3
1 −2
2 1 2 (− 2) 2 3
3
− 4 + 3 2
5
− 4 = 2 0 + 3 0 = 0.
3
5
−4
2

18.

Спасибо за внимание!