Определители. Вспомогательные определения

1. §2. Определители

1. Вспомогательные определения
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Факториалом числа n
называют
произведение натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е.
n!= 1·2·3·…·n.
0! =1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расположение n различных чисел в любом
порядке называется перестановкой этих чисел.
Пусть дана некоторая перестановка n различных чисел
α1, α2, …, αi, …, αk, …, αn.
Говорят, что два числа αi и αk образуют инверсию в
перестановке, если большее число стоит левее меньшего, т.е.
если αi> αk .
Количество пар, образующих инверсию в перестановке,
называется числом инверсий в перестановке.
пропустить 5 клеточек

2. Определение определителя

a11 a12
a
a22
21
A
Пусть A=(aij) – квадратная матрица порядка n.
Построим произведения по следующему правилу:
an1 an 2
Определение определителя
из каждой строки и каждого столбца возьмем по одному элементу
a1n
a2 n
ann
a1 1 a2 2 a3 3 ... an n
Таких произведений можно построить n!
ОПР. Сумма n! произведений каждое со своим знаком, зависящим от
порядка чередования строк или столбцов, называется
определителем матрицы A (определителем порядка n).
обозначают |A| , detA или
| A |
a11
a12
a1n
a21
a22
a2 n
( 1 2 ... n )
an1 an 2
ann
( 1)k ( 1 2 ... n ) a1 1 a2 2 a3 3 ... an n

3.

Вычисление определителя
Определитель второго порядка. a11 a12
a11 a22 a12 a21
a21 a22
Определитель третьего порядка равен алгебраической сумме
шести произведений.
а) правило треугольников
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
б) правило Саррюса
a11 a12 a13
=
a21 a22 a23
–
a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
a11 a22 a33 a21 a32 a13 a31 a12 a23
a31 a22 a13 a11 a32 a23 a21 a12 a33
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a21 a32 a13 a31 a12 a23
a31 a32 a33 a31 a22 a13 a11 a32 a23 a21 a12 a33
a11 a12 a13
a21 a22 a23
пропустить 10 клеточек

4. Свойства определителей

1) При транспонировании матрицы ее определитель не
меняется.
|A| = |AТ|
2) При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель
меняет знак.
пропустить 10 клеточек
3) Общий множитель элементов любой строки (столбца)
можно выносить за знак определителя.
пропустить 10 клеточек
4) Если все элементы k-й строки определителя |A| являются
суммами двух элементов, то определитель равен сумме двух
определителей |A1| и |A2|: у первого в k-ой строке первые
слагаемые, у второго в k-ой строке - вторые слагаемые.
пропустить 10 клеточек

5.

A 1a1 2 a2 ... n an
пропустить 10 клеточек

6.

6) Определитель не изменится, если к каждому элементу i-й
строки (столбца) прибавить соответствующий элемент k-й
строки (столбца), умноженный на число α 0.
7) Если A и B – квадратные матрицы порядка n ,
существует AB и BA, причем |AB|=|BA|=|A|·|B|.
пропустить 15 клеточек
то

7. Теорема Лапласа и ее следствие

Пусть A = (aij) – матрица размера m×n.
Выберем в A произвольно k строк: i1, i2, …, ik
и k столбцов: j1, j2, …, jk .
Из элементов, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов
составим определитель Mk :
ai1 j1 ai1 j2 ai1 jk
ai2 j1 ai2 j2 ai2 jk
Mk
aik j1 aik j2 aik jk
Определитель Mk называют минором k-го порядка матрицы A.
Частные случаи:
а) любой элемент матрицы – минор первого порядка;
б) определитель квадратной матрицы порядка n – ее минор
порядка n.
Определитель Mk*, составленный из оставшихся элементов матрицы A,
называется дополнительным минором к минору Mk.
пропустить 10 клеточек

8.

Пусть A = (aij) – квадратная матрица порядка n.
Выберем в A минор первого порядка Mk =|аij|
(строка i, столбец j).
Вычеркнем из матрицы A строку i, столбец j.
Определитель Mk*, - дополнительный минор элемента aij
(его обозначают Mij ).
Число Aij = (–1)i+j · Mij называется алгебраическим дополнением
элемента aij .
пропустить 10 клеточек

9.

СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Лапласа). Определитель равен сумме
произведений всех элементов любой строки (столбца) на их
алгебраические дополнения, т.е.
разложение определителя
|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin
по строке
|A|=a1jA1j+a2jA2j+…+anjAnj
по столбцу
СЛЕДСТВИЕ 2 (теоремы Лапласа). Сумма произведений
элементов
i-й строки (столбца) определителя на
алгебраический дополнения соответствующих элементов k-й
строки (столбца) этого определителя равна нулю. Т.е.
ai1Ak1+ai2Ak2+…+ainAkn=0
a1jA1k+a2jA2k+…+anjAnk=0