1.15M

Category:

physics

21_KSE_lek_6

1.

МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
1. Основные понятия и положения МКТ
1. Все тела в природе состоят из атомов или молекул.
Количество вещества ( ) – определяется числом структурных элементов
(молекул, атомов или ионов), из которых состоит вещество. Единица количества
вещества (в СИ) – 1 моль – количество вещества системы, содержащей столько
12
же структурных элементов сколько атомов содержится в нуклиде
C , массой
0,012 кг. В одном моле различных веществ содержится одно и тоже число
структурных элементов. Это число называют постоянной Авогадро:
N A =6,022 1023 моль-1.
(1.1)
Молярная масса (масса 1 моля) размерность [кг/моль]:
=
Из формул (1.1) и (1.2) следует
m0 =
m
N
m
mN A
=
= m0 N A
N
– масса одной молекулы.
(1.2)
(1.3)

2.

2. Между частицами в телах существуют силы взаимодействия - отталкивания
и притяжения и имеют электростатический (кулоновский) характер.
3. Частицы вещества находятся в беспрерывном хаотическом тепловом
движении.
2. Статистический метод исследования. Средние значения.
Статистический метод – метод исследования систем из большого числа
частиц, оперирующий статистическими закономерностями и средними
значениями физических величин, характеризующих всю совокупность частиц.
Свойства и поведение каждой частицы внутри системы описываются
физическими
величинами,
которые
называются
микроскопическими
параметрами (масса, значения координат и импульсов молекул и т.д.).
Макроскопическим параметром называется физическая величина,
характеризующая какое-либо свойство системы частиц как целого или ее
отдельной макроскопической части. Макроскопические параметры определяют
усредненную картину движения частиц, то они имеют смысл средних значений
физических величин.
Рассмотрим некоторые из важнейших макроскопических параметров и
их связь с усредненными микропараметрами.
1) Плотность вещества
- величина, равная массе, приходящейся в
среднем на единицу объема системы:
= m0 n ,
(1.4)
где n - среднее число частиц в единице объема вещества.

3.

2) Средний импульс частиц позволяет определить давление.
Давление - величина, численно равная средней силе, действующей со
стороны системы на единичную площадь поверхности, помещенной в эту
систему. Эта сила возникает в системе в результате столкновений частиц с
поверхностью при их тепловом движении.
3) Степень нагретости системы определяется макроскопическим
параметром - температурой, которая является мерой интенсивности теплового
движения. В случае классического описания движения частиц системы
температура определяется соотношением
m0 2
3
= П = kT
2
2
абсолютной. Здесь П - средняя
(1.5)
кинетическая энергия
−23 Дж
постоянная
k = 1.38 10 - K
и называется
поступательного движения одной частицы;
Больцмана.
PS. Согласно определению (1.5), абсолютная температура T обращается в
нуль, если прекращается тепловое движение. Тем не менее, это не означает
прекращения всякого движения. При низких температурах классическое
рассмотрение движения отдельных частиц перестает быть справедливым,
поэтому необходимо использовать квантовые закономерности.
Все макроскопические параметры испытывают многочисленные
относительно малые случайные отклонения от средних значений, называемые
флуктуациями. В этих случайных отклонениях и проявляется статистический
смысл макроскопических параметров.

4.

3. Состояния и процессы в системах
Состояние системы, состоящей из большого числа частиц, можно
описывать двумя способами:
- либо с помощью полного набора независимых микроскопических
параметров всех частиц системы,
- либо с помощью небольшого количества независимых
макроскопических параметров, которые в таком случае называются
параметрами состояния.
В соответствии с этими способами описания различают микро- и
макроскопические состояния системы. Таким образом,
- микроскопическое состояние системы определено, если заданы все
независимые микропараметры частиц системы;
- макроскопическое состояние системы определено, если задан
полный набор независимых макроскопических параметров системы.
Стационарным называется установившееся (все макроскопические
изменения в системе прекращены) в результате перехода системы из одного
состояния в другое состояние при постоянных внешних условиях.
Если при неизменных внешних условиях через границы системы не
переносится энергия, импульс, вещество и электрический заряд, то система
называется термодинамически изолированной, и в таком случае она приходит
в состояние теплового или термодинамического равновесия. Будем такие
состояния называть просто равновесными.

5.

Итак, состоянием теплового равновесия называется стационарное
состояние термодинамически изолированной системы. В состоянии
равновесия системы все ее макроскопические параметры постоянны.
Процесс
установления
равновесного
состояния
называется
релаксацией, а характерное время такого перехода - временем релаксации.
Любые другие состояния, не подчиняющиеся данному определению,
называются неравновесными.
Переход системы из одного макроскопического p
состояния в другое называется процессом, что обязательно
связано с нарушением равновесия, при этом система должна
2
A
проходить ряд последовательных неравновесных состояний.
Реально любой процесс, связанный с нарушением
равновесного
состояния,
является
неравновесным.
1
Равновесный - это идеализированный бесконечно
медленный процесс. Практически равновесным считается
такой процесс, когда характерное время изменения какогоT
либо параметра системы значительно больше времени
Рисунок 1.1
релаксации.
Итак,
равновесным
(квазистатическим)
называется
процесс,
представляющий собой непрерывную последовательность равновесных
состояний. На диаграмме состояний равновесный процесс изображается
непрерывной кривой (рис. 1.1, кривая 1-А-2).

6.

4. Модель идеального газа. Уравнение состояния.
Идеальным газом называется система частиц, собственными
размерами которых по сравнению со средним расстоянием между ними
можно пренебречь и взаимодействие между которыми сводится к упругим
столкновениям.
Для газообразных и жидких систем свойства равновесного состояния
описываются давлением p , объемом V и температурой T , поэтому эти
параметры называются параметрами состояния. Уравнением
состояния
называется математическая связь между равновесными значениями
параметров состояния.
Уравнением состояния идеального газа является уравнение
Менделеева-Клапейрона:
m
pV = RT ,
(1.6)
R = N A k = 8.31 10 3 Дж / моль K - универсальная газовая постоянная.
Из уравнения М-К вытекают следствия:
1) Закон Дальтона: в равновесии давление смеси идеальных газов равно
сумме давлений, которое создает каждый компонент смеси в отдельности.
2) Закон Авогадро: различные газы, находящиеся в одинаковых объемах при
равных температурах и давлениях, содержат одинаковое число молекул.
3) Законы Бойля-Мариотта, Шарля и Гей-Люссака для изопроцессов
( p = const
) следуют из (1.6).
T = const
V = const
где

7.

5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных
газов. Уравнение Менделеева-Клапейрона
Пусть в сосуде объемом V находится
идеальный газ массой m , состоящий из
молекул массой m0 , движущихся с различными
скоростями (рисунок 1.2). Число молекул,
приходящихся на единицу объема, величины
скоростей которых заключены в интервале
от до + d , обозначим dn .
Концентрация молекул в газе по
Z
V = S t
t
S
0
X
Y
N
определению n = V , где N – полное число
Рисунок 1.2
молекул в сосуде.
Если при соударениях со стенками за время t элементарной
площадке S стенки сосуда передается импульс P , то давление газа,
оказываемое им на стенку сосуда, определится как средняя сила, действующая
на единичную площадку S
P
1 P
p=
=
=
S S t
S t
F
(1.7).

8.

При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно стенке,
передает ей импульс 2m0 . В среднем по направлению к стенке движется 1/6
часть всех молекул. Поэтому за время t площадки S достигнут 1 dn S t и
6
передадут ей импульс
P =
1
dn m0 2 S t
3
Заменяя скорость одной молекулы на ее среднее значение и,
подставляя P в (1.7), получим выражение для давления
1
p = m0 n 2
3
Представив (1.8) в виде
2 m0 n
p=
3
2
2
(1.8)
2 m0 2
= n
3
2
а также, вспомнив молекулярно-кинетическое толкование температуры (1.5),
получаем следующее уравнение для давления идеального газа
(1.9)
p = nkT
Выражение
(1.9)
называется
кинетической теории.
PS.
N
pV = NkT.
n=
V
основным
pV =
уравнением
N
N A kT = RT
NA
молекулярно-
pV =
m
RT ,

9.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Пусть имеется некоторая система, характеризуемая величиной x,
значение которой каким-либо образом может меняться. Если произвести над
величиной x некоторое число испытаний N , то часть из них N1 даст значение
величины x = x 1 , другая часть N2 даст значение величины x = x2 , часть N3 даст
N = N 1 + N 2 +...+ N i +...
значение x = x3 и т.д. (очевидно, что
). Отношение
.N i / N
называется относительной частотой появления значения x = x i . При
стремлении N к бесконечности относительная частота стремится к
определенному пределу, значение которого и называется вероятностью данного
Ni
события (значения x i ):
i ( x i ) = lim
.
(1)
N → N
Для достоверного события N i N , поэтому его вероятность = 1 .
Для невозможного события N i 0 , и его вероятность равна 0.
Из равенства непосредственно вытекает, что
(x ) = 1
i
i
(2)
т.е. сумма вероятностей всех возможных событий равна единице. Это
утверждение носит название условия нормировки.
События называются статистически независимыми, если появление
результата x = x i при некотором испытании не связано с появлением результата
x = xk .
i

10.

1. Вероятность появления либо результата x = x i , либо x = x k при
одном испытании статистически независимых событий равна сумме
вероятностей этих событий (теорема о сложении вероятностей):
( хi или хk ) = i ( xi ) + k ( xk ).
(3)
2. Вероятность одновременного появления статистически независимых
результатов при сложном событии равна произведению вероятностей этих
результатов (теорема об умножении вероятностей):
ik ( x i , x k ) = i ( x i ) k ( x k ).
(4)
Анализ статистических закономерностей показывает, что вероятность
обнаружить значение величины (при непрерывном спектре ее значений) в
заданном интервале значений от x до x + dx
пропорциональна величине
самого интервала dx :
d ( x) = f ( x)dx,
(5)
f ( x) - функция распределения
где коэффициент пропорциональности
вероятностей (функция величины по всему интервалу возможных ее значений).
С математической точки зрения функция распределения имеет смысл
плотности вероятности того события, что испытание даст значение величины,
равное x . Это утверждение непосредственно вытекает из (5):
d ( x)
(6)
f ( x) =
dx
.
Вероятность 12 обнаружить значение величины x в заданном интервале
значений x 1 x x 2 определяется интегралом
x
2
12 = f ( x)dx.
x1
(7)

11.

В соответствии с (2) условие нормировки функции распределения примет вид
f ( x)dx = 1,
(8)
где интеграл берется по всей области возможных значений величины.
Таким образом, зная функцию распределения величины x, можно в
соответствии с (1) или (2) вычислять средние значения любых величин или
функций, зависящих от x, в любом заданном интервале x 1 x x 2 . .
Для среднего значения величины имеем
x2
x = x f ( x)dx;
x1
для любой функции ( x), зависящей от величины x,
(9)
x2
= ( x) f ( x)dx.
x1
(10)
Выводы.
Если некоторая величина x может в некотором интервале принимать
случайные значения, то с помощью функции распределения величины можно
определять:
а) вероятность (относительную частоту) появления любого значения
величины x при испытании;
б) средние значения как самой величины x, так и любой функции, зависящей
от x.

12.

2. Статистический метод исследования
2.1 Общий вид функции распределения Максвелла
Рассмотрим идеальный газ в состоянии равновесия при данной
температуре.
Поставим задачу об отыскании функции распределения f ( ) , позволяющей
найти вероятность того, что составляющие скорости вдоль декартовых осей
z
+ d y , от
координат лежат в интервалах от x до
x + d x, от y до y
до z + d z , т.е. конец вектора попадает внутрь параллелепипеда ,
построенного в пространстве скоростей (рис. 1.1):
dW = f ( )d x d y d z
z
(2.1)
dГ
d z
С физической точки зрения эта функция
позволяет найти относительное число
молекул, обладающих
скоростями в
интервале от до + d .
+ d
d y
d x
y
x
Рисунок 1.1
Пространство скоростей

13.

Вид функции распределения Максвелла по составляющей скорости
1
2
m0 x2
m0
2
f1 ( x ) = f1 ( x ) =
exp −
2
kT
2 kT
(2.2)
и вид функции распределения Максвелла по вектору скорости
(теорема об умножении вероятностей)
2
2
2
2
(
+
+
m
x
y
z)
2
0
f ( ) = f ( ) =
=
exp −
2kT
2 kT
3
3
2
m0 2
m0
=
exp −
2
kT
2 kT
Заметим, что поскольку
записать в виде
m0
(2.3)
k
=
1
m0 N a
R
=
R
, то (2.2) и (2.3) можно
x2
2
f1 ( x ) =
exp −
2
RT
2 RT
2
3
2
2
f ( 2 ) =
exp
−
2
RT
2 RT
(2.4)
(2.5)

14.

2.2 Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости
В пространстве скоростей (рисунок 1.2)
концы всех векторов, имеющих одно и то же
абсолютное
значение, лежат на сфере
радиуса , а концы векторов, абсолютные
значения которых заключены в интервале от
до + d , лежат в шаровом слое между
сферами радиусов и + d . Поэтому для
получения искомой вероятности достаточно в
(2.1) объем элементарного параллелепипеда
, изображенного на рисунке 1.1, заменить
объемом этого шарового слоя, который легко
найти:
2
z
y
.
.
dV = 4 d
(объем бесконечно тонкого шарового слоя
есть площадь поверхности, умноженная на
толщину слоя dv ).
Итак
dW ( ) = f ( )dV = f ( 2 )4 2d
(2.6)
d
x
Рисунок 1.2

15.

Окончательный вид функции распределения молекул по абсолютному
значению (модулю) скорости:
3
2
m0 2
m0
2
F ( ) = f ( )4 =
exp
−
4
2
kT
2 kT
2
2
2
(2.7)
На рисунках 1.3 и 1.4 изображены все полученные распределения. Обратим
внимание, что площадь под каждой кривой на этих рисунках равна единице!
f ( )
f ( x )
N x
N
x1 x 2
x
Рисунок 1.3
Функции распределения Максвелла:
а) по компоненте скорости; б) по вектору скорости

16.

F ( )
N
N
в
скв
1 2
Рисунок 1.4
Функция распределения Максвелла по модулю скорости

17.

2.3 Характерные скорости молекул идеального газа
Распределение Максвелла позволяет найти значения скорости,
характерные для данного идеального газа и зависящие от температуры. Первой
такой скоростью является среднеквадратичная скв , связанная со средней
кинетической энергией поступательного движения молекул:
2
m0 2
m0 2
m0 скв
kT
=
=
=3
2
2
2
2
откуда
3kT
3RT
скв =
=
m0
(2.8)
Значение скорости, при котором функция распределения Максвелла по
абсолютному значению скорости достигает максимума, – так называемая
наиболее вероятная скорость в (рисунок 1.4) – вторая характерная скорость
2
молекул газа. Исследуем функцию F ( ) (2.7) на экстремум:
3
2
m0 2
dF ( )
m0 d 2
= 4
exp −
=0
2
2
d
2 kT d
2kT
2
3
2
m0
так как 4 2 kT = const 0 ,
m0 2
m0 2 m0 2
m0 2
d 2
exp −
exp −
= exp −
−
=0
2
d
2kT
2kT 2kT
2kT

18.

Из уравнения находим наиболее вероятную скорость:
в =
2kT
2 RT
=
m0
(2.9)
Распределение (2.7) удобно записать, воспользовавшись (2.9), введя
относительную скорость
u=
в
Тогда перепишем (2.7) в виде
F (u 2 ) =
8m0
exp( −u 2 )u 2
kT
(2.10)
Вероятность того, что значение относительной скорости заключено в
интервале du , имеет вид
dW (u ) = 4
exp(−u 2 )u 2 du
(2.11)

19.

Третьей характерной скоростью является средняя арифметическая скорость,
т.е. среднее значение модуля скорости:
3
2
m0 2
m0
3
= F ( ) d =
=
4 d exp
2 kT
2kT
0
0
2
=
2
2kT
exp(− x) xdx
m0 0
Последний интеграл вычисляется по частям:
0
0
exp(− x)xdx = − exp(− x) x 0 + exp(− x)dx = − exp(− x) = 1
0
Таким образом,
=
8kT
8 RT
=
m0
(2.12)
Таблица 1.1
Наиболее вероятная
скорость
в =
2 RT
Средняя арифметическая
скорость
=
8RT
= 1,13 в
Среднеквадратичная
скорость
скв =
3RT
= 1,22 в

20.

2.4 Свойства функции распределения
1) Рассмотрим вначале свойства функции распределения частиц по
составляющей (компоненте) скоростей (2.2).
f 1 ( x )
Функция
четная относительно x и положительна во всем
интервале возможных значений x от − до + . Она имеет характерный
mo
максимум при x = 0 , при этом ее значение равно f max (0) =
.
2 kT
Поэтому значение x = 0 является наиболее вероятным значением проекции
скорости частицы на выделенное направление в равновесном состоянии
системы. Площадь заштрихованной фигуры определяет вероятность
обнаружить частицу, имеющую проекцию скорости x в интервале от x1 до
x 2 , а также относительное количество частиц, имеющих проекцию
скорости x в заданном интервале
x1
N
x
N
= W12 = f ( x )d x .
(2.13)
2) Исследуем теперь поведение функции распределения Максвелла (2.7)
во всем интервале значений скоростей 0 . Видно, что при = 0, F ( ) = 0,
→ F ( ) → 0 . Внутри интервала 0 функция
F ( ) везде
а при
положительна. Площадь, охватываемая кривой распределения, в соответствии
с условием нормировки равна единице. Площадь заштрихованной части в
интервале 1 2 определяет вероятность обнаружить частицу, имеющую
скорость в этом интервале значений, а также определяет, какая часть от общего
числа частиц имеет скорости в заданном интервале.
x2
.
.

21.

Условия:
1)
2)
F (0) = 0,
F → 0,
dF
=0
d = 0
dF
→0
d
при
→
означают, что как очень малые, так и очень большие значения тепловых
скоростей частиц по сравнению с наиболее вероятной скоростью
оказываются маловероятными.
На рис. 1.5 изображены графики F ( ), соответствующие случаям, когда:
F ( )
m02, T2
m01, T1
в1 в 2
Рисунок 1.5

22.

а) обе кривые описывают распределения частиц в одной и той же
системе (m01 = m02 ) , находящейся в двух различных равновесных состояниях с
температурами T1 T2 ;
б) кривые описывают распределения частиц в различных системах
(m01 m02 ) , находящихся в состояниях с одинаковой температурой T1 = T2 .
.
Очевидно, что при повышении температуры системы частиц или для
системы частиц с меньшей массой наиболее вероятная скорость смещается в
область больших значений, а сам максимум функции F ( ) уменьшается. При
этом площадь, охватываемая кривой распределения, остается равной единице.
Все это свидетельствует о том, что при указанных условиях вырастает доля
более «быстрых» частиц.
m02 m01
В общем случае эти кривые соответствуют условию
.
T2
T1
.

23.

3
2
m0 2
m0
2
F ( )d =
exp
−
4
d
2 kT
2kT
f(u)
4
f (u )d =
2 −u2
ue
du
u=
в
f (u ) =
dN
Ndu
N
= f (u ) u
N
1
u

24.

Значения функции f(u)
u
f(u)
u
f(u)
u
f(u)
0
0
0,9
0,81
1,8
0,29
0,1
0,02
1,0
0,83
1,9
0,22
0,2
0,09
1,1
0,82
2,0
0,16
0,3
0,18
1,2
0,78
2,1
0,12
0,4
0,31
1,3
0,71
2,2
0,09
0,5
0,44
1,4
0,63
2,3
0,06
0,6
0,57
1,5
0,54
2,4
0,04
0,7
0,68
1,6
0,46
2,5
0,03
0,8
0,76
1,7
0,36
4
2 −u
dN ( u) = N f ( u) du =
N u e du
2

25.

dN (u ) = Nf (u )du =
4
2 −u2
Nu e
du
Относительное число молекул, скорости которых лежат в
.
интервале от u1<u< , рассчитанные
по формуле:
N1
= f ( u) du
N
u
, приводятся в таблице:
1
u1
N1/N
u1
N1/N
0
1,000
0,8
0,734
0,2
0,994
1,0
0,572
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057

26.

4.(5.95) Какая часть молекул кислорода (О2) при t=00С обладает
модулем скорости, заключенным в интервале от 1=100 м/с до
2=110 м/с?
Решение.
Дано
,
Т=273К
1=100 м/с до
2=110 м/с
в =
2 RT
2 8,31 273
м )
=
376(
с
32 10−3
1 100
u1 = =
= 0, 27
в 376
= 32 10 −3 кг моль
,
,
*,
.
N
=?
N
u
f(u)
u
f(u)
u
f(u)
0
0
0,9
0,81
1,8
0,29
0,1
0,02
1,0
0,83
1,9
0,22
0,2
0,09
1,1
0,82
2,0
0,16
0,3
0,18
1,2
0,78
2,1
0,12
0,4
0,31
1,3
0,71
2,2
0,09
0,5
0,44
1,4
0,63
2,3
0,06
0,6
0,57
1,5
0,54
2,4
0,04
0,7
0,68
1,6
0,46
2,5
0,03
0,8
0,76
1,7
0,36
u2 = 0, 297( 0,3)
2 − 1
u =
= 0,027
в
u u
N
= f (u ) u
N

27.

N
= f (u ) u
N
f(u)
u = 0,027
f (u ) 0,18
N
= 0,18 0,027 = 0,00486 0,005
N
N
0,5%
N
0,18
0,297
0,3
1
u

28.

7.(5.100) Какая часть молекул азота Nx/N при температуре t=1500С
обладает скоростями, лежащими в интервале от 1=300 м/с до 2=800
м/с?
Ответ: N1/N=87 %; N2/N=17 %; Nx/N=70 %.
Дано
t=1500С
1=300 м/с
2=800 м/с?
= 2 − 1 = 500 м
в =
2 RT
=
2 8,31 423
м )
=
498
,
7
499
(
с
28 10 −3
u1 =
Nx/N=?
u1
0
N1/N
1,000
u1
0,8
N1/N
0,734
0,2
0,994
1,0
0,572
0,4
0,957
1,25
0,374
0,5
0,918
1,5
0,213
0,6
0,868
2,0
0,046
0,7
0,806
2,5
0,0057
с
1 300
=
= 0,60
в 499
2 800
u2 =
=
= 1,60
в 499

21_KSE_lek_6

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.