Статистические распределения. (Лекция 2)

1.

ЛЕКЦИЯ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
1

2.

При
статистическом описании
равновесных состояний широко
используется принцип детального
равновесия: любой микроскопический
процесс в равновесной макроскопической
системе протекает с той же скоростью, что
и обратный ему процесс
2

3.

В статистической физике важное значение имеет
установление вида функции распределения
молекул по какому-либо параметру: энергии,
скорости, импульсу и т.д.
Например, функция распределения молекул по
скоростям f(v) определяет вероятность dP(v) того,
что скорость молекулы находится в интервале от v
до v + dv:
dP(v) f (v)dv
3

4.

Функция
f(v) называется также
плотностью вероятности, поскольку
dP (v)
f (v )
dv
4

5.

Зная
функцию распределения молекул f(x)
по параметру x, можно найти среднее
значение физической величины ,
зависящей от x:
b
( x) ( x) f ( x)dx
a
где (a, b) – интервал возможных значений
величины x
5

6.

Считается,
что для функции распределения
f(x) выполняется условие нормировки:
b
f ( x)dx 1
a
6

7.

m0 v x2
m0
f (v x )
exp
2 kT
2kT
Аналогичные функции
распределения получаются и для
двух других компонент скорости
vy и vz
7

8.

f ( v x , v y , v z ) f (v x ) f ( v y ) f ( v z )
3
2
2
2
2
m0 (v x v y v z )
m0
exp
2
kT
2 kT
3
2
2
m
m
v
0
0
exp
2 kT
2kT
8

9.

3
2
m0 v 2
m0 2
f (v) 4
v exp
2 kT
2kT
Функция распределения f(v)
имеет максимум,
соответствующий наиболее
вероятной скорости молекул
vвер и существенным образом
зависит от массы молекул и
температуры газа
9

10.

При этом площадь под кривой функции распределения Максвелла остается
неизменной и численно равной 1 (согласно условию нормировки функции
распределения)
10

11.

f (vвер ) f max
vвер
df (v)
dv
v vвер
0
2kT
2 RT
m0
M
11

12.

v vf (v)dv
0
8kT
8RT
v
m0
M
12

13.

vкв
v2
2
v
f (v)dv
0
3kT
3RT
vкв
m0
M
13

14.

vвер : v : vкв 1 : 1,13 : 1,22
14

15.

u
v
vвер
dv
dP f (v)dv f (v) du f (u )du
du
dv
f (u ) f (v)
f (uvвер )vвер
du
4 2 u 2
f (u )
u e
15

16.

p m0 v
dv
dP f (v)dv f (v) dp f ( p )dp
dp
p
f
m0
dv
f ( p ) f (v )
dp
m0
2
4
p
2
f ( p)
p exp
32
2 m0 kT
2m0 kT
16

17.

пост
m0 v
2
2
dv
dP f (v)dv f (v)
d пост f ( пост )d пост
d пост
2 пост
dv
f ( пост ) f (v)
f
d пост
m0
m0 v
2 пост
f
m0
2 пост m0
2
пост
3 2
f ( пост )
(kT )
пост exp
kT
17

18.

ЛЕКЦИЯ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
18

19.

Если термодинамическая система, находящаяся в
равновесном состоянии, помещена в силовой поле,
то распределение молекул в пространстве
описывается распределением Больцмана:
( x, y , z )
n( x, y, z ) n0 exp
kT
Здесь n(x, y, z) – концентрация (плотность молекул в
точке с координатами x, y, z; – потенциальная
энергия молекулы в этой точке; n0 – концентрация
молекул в том месте, где потенциальная энергия
молекулы минимальна (равна нулю)
19

20.

Число
молекул, находящихся в пределах
бесконечно малого объема dV = dxdydz,
расположенного в окрестности точки с
координатами x, y, z, определяется
выражением
( x, y , z )
dN ( x, y, z ) n0 exp
dxdydz
kT
20

21.

ЛЕКЦИЯ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
21

22.

Из
распределения Больцмана следует
барометрическая формула, описывающая
изменение давления атмосферного воздуха
с высотой h:
Mgh
p p0 exp
RT
Здесь
p0 – давление у поверхности Земли,
M – молярная масса воздуха, g – ускорение
свободного падения.
22

23.

Воздух
является идеальным газом, т.е. для
него выполняется уравнение Менделеева –
Клапейрона.
Температура
воздуха всюду одинакова
(атмосфера изотермическая).
g
= const, что справедливо для высот, много
меньших радиуса Земли.
23

24.

24

25.

ЛЕКЦИЯ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
25

26.

Распределение
Максвелла и распределение
Больцмана можно объединить в одно
обобщенное распределение Макселла –
Больцмана.
Это
распределение позволяет найти число
молекул dN, проекции скоростей которых
принадлежат интервалам (vx, vx+dvx), (vy,
vy+dvy), (vz, vz+dvz) и координаты которых
принадлежат области (x, x+dx), (y, y+dy), (z,
z+dz)
26

27.

m0 v 2
dv x dv y dv z dxdydz
dN A exp 2
kT
3
2
m0
2
2
2
A n0
; v vx v y vz
2 kT
27