Термодинамика и статистическая физика. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

1.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
При равновесии в газе устанавливается
хаотическое (тепловое) движение молекул.
Все направления движения равновероятны.
Давление газа
1) Все молекулы одинаковы
2) vi v
v x
3) vi v y
v z
1
ni n
6
i ( x ), ( y ), ( z )
– концентрация молекул i-й скоростной группы

2.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Число молекул, ударяющихся об S за t
v t
1
N nSv t
6
S
z
Они передадут импульс
1
n( z ) n
6
1
pz (2mv ) N nmv 2 S t
3
p 1
Fz z nmv 2 S
t 3
1
2
P nmv 2 n
3
3
– основное уравнение МКТ
P
Fz
S

3.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Свойства
1)
N
R
n, k
V
NA
N
PV
RT
NA
P nkT
P
2
n
3
3
kT
2
2) При равновесии в смеси газов
1 2
3) При тепловом равновесии газов
1 2
обладает свойствами температуры

4.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Распределении кинетической энергии по степеням свободы
Все направления движения равноправны
x y z
1
3
x y z
1
v x2 v 2y v z2 v 2
3
1
kT
2
Теорема о равномерном распределении кинетической энергии
по степеням свободы:
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы
любой атомно-молекулярной системы, равна 1 2 kT
Число степеней свободы есть число независимых координат, заданием
которых определяется пространственное положение системы

5.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Число степеней свободы
Система N материальных точек с k связями (молекула)
Число степеней свободы
1) Одноатомная молекула
f 3N k
f 3
2) Жесткая двухатомная молекула
f 5
2) Жесткая трехатомная молекула
f 6

6.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Газ жестких молекул
Вся энергия молекулы кинетическая
(при равновесии)
f
kT
2
Внутренняя энергия одного моля идеального газа таких молекул
U NA
CV
f
f
N AkT RT
2
2
f
R
2
CV
dU
dT

7.

Термодинамика и статистическая физика
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
1) Теплоемкость газа одноатомных молекул ( f = 3 )
He, Ar, Ne и другие инертные газы
CV
3
R
2
2) Теплоемкость газа двухатомных жестких молекул ( f = 5 )
( при комнатных t ) O2, N2, H2 , воздух
CV
5
R
2
3) Теплоемкость газа трех- и более атомных жестких молекул ( f = 6 )
водяной пар H2O
CV 3R

8.

Термодинамика и статистическая физика
Распределение Максвелла
При равновесии движение молекул беспорядочно
Все направления движения равноправны
dP(vi ) (vi )dvi
(i x, y, z )
dP(vi ) – вероятность
(vi )
vi (vi ; vi dvi )
– функция распределения (плотность вероятности) для vi
Аналогично для трехмерной вероятности
dP( v ) f ( v ) dv x dv y dvz
dP ( v )
f (v )
– вероятность
v (v; v dv )
– функция распределения (плотность вероятности) для v

9.

Термодинамика и статистическая физика
Распределение Максвелла
В предположении, что все направления движения статистически независимы
f (v ) (vx ) (v y ) (vz )
и равноправны
f (v ) (v x ) (v y ) ( vz )
f (v ) f (v )
(vi ) Ae
vi2
f (v) A3e v
(i x, y, z )
2
Условие нормировки
(v ) dv
x
x
1
Средняя кинетическая энергия
x
1
(
v
)
dv
x x x 2 kT

10.

Термодинамика и статистическая физика
Распределение Максвелла
1
mv x2
m 2
( v x )
exp
2 kT
2kT
– распределение Максвелла
3
mv 2
m 2
f (v )
exp
2
kT
2
kT
F(v) – плотность вероятности для модуля скорости, тогда
F (v)dv 4 v 2 f (v)dv
3
mv 2
m 2 2
F (v ) 4
v exp
2
kT
2kT

11.

Термодинамика и статистическая физика
Распределение Максвелла
Вероятное число молекул со скоростями в диапазоне от v до v + dv
3
mv 2
m 2 2
dN 4 N
v exp
dv
2 kT
2kT
Характерные скорости
F ( vвер ) 0
Вероятная скорость
vвер
2kT
m
2 RT
v vF (v ) dv
Средняя скорость
0
v
8kT
m
8RT

12.

Термодинамика и статистическая физика
Распределение Максвелла
Среднеквадратичная скорость
vкв
3kT
m
vкв v 2
3RT
Приведенная форма распределения Максвелла
u v vвер
F (u )du F (v)dv
F (u)
4 2
u exp( u 2 )

13.

Термодинамика и статистическая физика
Распределение Больцмана
Идеальный газ в поле тяжести
1) При тепловом равновесии T = const
z
2) При механическом равновесии
g
T const
nm
p g
dp
nmg
dz
mgz
n n0 exp
kT
u
n n0 exp
kT
p nkT
u mgz
– распределение Больцмана
n0 – концентрация молекул на высоте z = 0