Молекулярная физика. Лекция 10

1. Молекулярная физика

Идеальный газ во внешнем поле.
•Рассмотрим идеальный газ, находящийся в тепловом равновесии
(Т=const) во внешнем потенциальном поле U. Под действием сил
поля давление газа не будет постоянным, а будет изменяться от
точки к точке. Пусть поле направлено вдоль оси z. Рассмотрим две
площадки площадью S, расположенные перпендикулярно оси z на
расстоянии dz друг от друга. Пусть на нижней площадке давление
будет p, а на верхней p+dp . Разность давлений, умноженная на
площадь dpS должна равняться суммарной силе, действующей на
dpS FnSdz
все молекулы слоя.
F
dU
dz

2. Молекулярная физика

dpS FzdN FzndV FznSdz
dEпот
и p nkT ( T const), получим:
dz
dn
dE
kTdn ndEпот ,
пот
n
kT
Используя соотношения Fz
Eпот
kT
и n n0e . Полученную формулу называют формулой Больцмана.
E
Для давления будем иметь
p p0e kT , где и при Eпот=0.
В поле силы тяжести вблизи поверхности Земли
пот
p p0e
m0 gz
kT
p0e
M gz
RT
,
где m0 – масса молекулы газа, M – его молярная
масса. Последнюю формулу называют барометрической. Зависимость давления от высоты z над
поверхностью земли при разных температурах и молярных массах
представлена на рисунке.

3. Молекулярная физика

Распределение молекул по скоростям. Распределение
Максвелла.
В связи с тем, что в макроскопических объемах газа содержится астрономическое число молекул, бессмысленно говорить об определении точного значения скорости каждой из них. С одной стороны,
это сложно осуществить технически, а с другой стороны, молекулы,
постоянно сталкиваясь, меняют величину и направление скорости.
При таком большом количестве частиц можно говорить лишь о
вероятности того, что определенная часть молекул имеет скорости
лежащие в некотором интервале от v до v dv . Решением подобных
задач занимается статистическая физика.
Введем понятие вероятности. Вероятностью называется относительная частота выпадения того или иного события. Игральная кость
при падении оказывается одной гранью вверх. Вероятность выпадения, например, числа 3 равна числу выпадения тройки, отнесенному к общему числу бросаний P N 3 1
3
N
6

4. Молекулярная физика

Сумма выпадения всех возможных 6 чисел равна
P1 P2 P3 P4 P5 P6 1.
Пусть из общего числа молекул N скорости, лежащие в интервале
от v до v + dv имеют dN молекул. Вероятность dP того, что
молекулы имеют скорости, лежащие в этих пределах пропорциональна f ( v) , т.е. равна dP dN f ( v) dv , где вероятность выражена
N
через величину интервала скоростей dv , а функция f ( v) называется
функцией распределения молекул по скоростям.
Будем искать
, используя формулу Больцмана. Для этого
рассмотрим идеальный газ в состоянии теплового равновесия в
однородном гравитационном поле и будем следить только за z
компонентой скоростей v z его молекул. Пусть число молекул в
единице объема со скоростями, лежащими в интервале от
v z до vz dvz равно nf ( vz ) dvz . Рассмотрим бесконечно тонкий слой
газа площадью S толщиной dz на высоте z. В его объеме dV Sdz
n( z) f ( v ) dv dV n( z) f ( v ) dv Sdz

5. Молекулярная физика

плотность газа на высоте z. Через некоторое время молекулы этого
слоя при тепловом движении сместится на другую высоту z’ и
изменит свою толщину от dz до dz , а скорости под действием сил
поля изменятся и перейдут в интервал от v z' до vz' dvz' . Число
молекул в этом объеме можно представить в виде n( z ) f ( vz ) Sdvz dz .
Поскольку число молекул осталось неизменным, то
n( z) f ( vz ) Sdvzdz n( z ) f ( vz ) Sdv z dz .
В поле силы тяжести горизонтальные составляющие скорости не
меняются, и закон сохранения энергии примет вид:
mv z2
mv z 2
mgz
mgz .
2
2
Дифференцируя при постоянных z и z’, получим:
dz dz'
' .
vzdvz vz dvz , dt
vz
vz
Откуда dvzdz dvz dz и n( z) f ( vz ) n( z ) f ( vz ) .

6. Молекулярная физика

Используя формулу Больцмана, получим:
( z z )
f ( v z )
n( z)
kT
e
f ( v z ) n( z )
mg
Из закона сохранения энергии следует:
2
mvz 2 mv
z
mg( z z )
.
2
2
Тогда
mgvz2
2kT
f ( vz ) e
и
mgvz' 2
2kT
f ( v z ) e
f ( vz ) const e
.
mgvz2
2kT
В результате получено равновесное распределение молекул по значениям
только одной компоненты скорости v z. Доля молекул, обладающих тремя
определенными значениями скорости получается перемножением долей
молекул, обладающих каждой из компонент в отдельности.
mgvx2
2kT
f ( vx , vy , v z ) const e
e
mgvy2
2kT
e
mgvz2
2kT
const e
mgv 2
2kT

7. Молекулярная физика

Таким образом, число молекул dN со скоростями, лежащими в
интервалах от v x до vx dvx , от v y до vy dvy и от v z до vz dvz равно
mgv
.
2kT
2
dN const e
dv x dv y dv z
если перейти к сферическим координатам и проинтегрировать по
dvd d , то
dN N C 4 v 2e
mv 2
2kT
dv .
1
0
0
Константа определяется из соотношения P dP f ( v) dv 1 ,
Означающего очевидное утверждение, что молекула имеет какую-то
скорость в интервале от 0 до бесконечности. Это событие является
достоверным, поэтому его вероятность равна 1.
Ce
0
mv 2
2kT
32
4 v 2dv 1
m
C
.
2 kT
32
Функция распределения равна f ( v)
e
2 kT
m
mv 2
2kT
4 v 2.

8. Молекулярная физика

Число молекул dN, движущихся в интервале скоростей от v до v +
dv равно
,
где N – общее число молекул. Если ввести отношение скорости
молекул к их вероятной скорости
то распределение
примет вид:
Графики функций распределения по скоростям (распределения Максвелла) для температур Т1 и Т2 (Т1<Т2).
При уменьшении температуры или увеличении массы молекулы газа увеличивается вклад от v 2, и максимум кривой

9. Молекулярная физика

1.Наиболее вероятная скорость соответствует максимуму кривой
распределения Максвелла.
32
mv
mv
0
df
m
0 2mv 20kT 2
4
e
v 2ve 2kT 0 ,
dt
2 kT 2kT
2kT
2RT , где
- масса молекулы, M – молярная масса.
vв
m0
m0
M
8kT
8RT
2.Средняя скорость молекул v vf ( v) dv m0 M .
0
2
3.Среднеквадратичная скорость молекул vк в v 2f ( v) dv 3kT ,
m0
0
2
Пример. Средняя скорость движения молекул
кислорода.
8RT
8 8, 81 300
v
M
3
32 10
500 м/с
Распределение молекул по скоростям
Экспериментальное подтверждение распределения Максвелла получено в опытах Штерна и
Ламмерта.
2
u v
vвер
N
N %
0-0,5
8,1
0,5-1,5
70,7
1,5-2
16,6
2-3
4,6
>3
0,04
>5

10. Молекулярная физика

Примеры решения задач
Задача 62. Найдите суммарную кинетическую энергию
вращательного движения молекул углекислого газа (с жесткими
связями) массой 88 г при температуре 300 К, молярная масса
углекислого газа .
Решение. Молекула углекислого газа CO2 является трехатомной с 6 степенями свободы, три из которых приходятся на
вращательное движение. Суммарная кинетическая энергия
вращательного движения молекул 88 г (двух молей) CO2 равна
Eвр N A
m 3kT
m 3RT
7479 Дж.
M 2
M 2
Задача 63. При какой температуре Т средняя квадратичная
скорость молекул азота больше их наиболее вероятной скорости на
v 50 м/с?
Решение. Вычитая из выражения для средней квадратичной
скорости наиболее вероятную скорость, получим:
v vкв vвер
3RT
2RT
M
M
RT
( 3 2)
M

11. Молекулярная физика

откуда
Задача 64. Найти скорость при которой пересекаются кривые
распределения Максвелла молекул по скоростям при температурах
Т и 2Т, если наиболее вероятная скорость при температуре 2Т равна.
Решение. В точке пересечения (рис.5) функций распределения
(плотностей вероятности) они равны:
,
M v2
2 RT
откуда e
1
2
32
M v2
2 R 2T
e
2
и v 1, 5vвер
l n 2 1, 02 vвер .
Задача 65. Какая часть молекул кислорода при t = 0°С обладает
скоростями от 100 до 110 м/с?
Решение. Запишем распределение Максвелла молекул по
v
v
100 скоростям в виде N ( u)
4 u 2 , где u
2
e u u
vвер
2RT M
N
10 e u2 e 0,071 0, 93
относительная скорость, u
,
. Тогда
376
376

12. Молекулярная физика

Задача 66. Найдите разность давлений в салоне самолета,
летящего на высоте h1 = 8300 м и за бортом. В салоне
поддерживается давление воздуха, соответствующее высоте
h2 =2700 м. Ускорение свободного падения и температура 0°С
наружного воздуха от высоты не зависят. Давление на поверхности
Земли p0= 100 кПа, молярная масса воздуха M = 29кг/м3.
Решение. Зависимость давления от высоты над
поверхностью
M gh
Земли дается распределением
Больцмана
p p0e RT . Тогда давление
M gh
в салоне равно p2 p0e RT 70, 7 кПа, а за бортом
2
p1 p0e
M gh1
RT
34, 7 кПа. Разность давлений составляет 36 кПа.
Задача 67. Вблизи поверхности Земли отношение объемных
концентраций кислорода и азота в воздухе 0 0, 268. Считая
ускорение свободного падения не зависящим от высоты, а температуру атмосферы постоянной и равной 0°С, определить это
отношение на высоте h = 10 км.

13. Молекулярная физика

Решение. Зависимость концентрации идеального от
высоты над поверхностью Земли дается распределением
M gh
Больцмана n n0e RT . Тогда отношение концентраций
кислорода nк и азота nа на высоте h = 10 км равно:
,
M к gh
RT
( M а M к ) gh
RT
nк n0к e
0e
M а gh
nа
n0а e RT
( 28 32)10 104
8310 273
0, 268e
0, 225