Предел числовой последовательности

1. Раздел 4 Введение в математический анализ Предел числовой последовательности

Определение числовой последовательности
Способы изображения
Классификация числовых последовательностей
Предел числовой последовательности

2. Определение числовой последовательности

Если любому натуральному числу 1, 2, 3,…, n,… поставлено в
соответствие по определенному закону некоторое число xn,
то будем говорить, что задана числовая последовательность
с общим членом xn.
x1 , x2 , ..., xn , ...
члены последовательности
xn
xn = a1 + d (n − 1) арифметическая прогрессия
x
xn = b1q n−1
n n =1
геометрическая прогрессия
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
2

3. Способы изображения числовой последовательности

x1
0 x4
x5
1
x2
x3 x
x6
x5
x2
x3
x1
xn
1
2
3
4
5
6
n
x4
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
3

4. Примеры числовых последовательностей

2n
1. xn =
n +1
2-
n
xn
xn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
4/3
3/2
8/7
5/3
12/7
7/4
16/9
9/5
20/11
1-
1
2
3 4 5 6
7 8 9 10
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
n
4

5.

2.
xn = (−1)
n
xn
1
-1
1
2
3 4 5
6 7
8 9
1
2
3 4 5
6 7
8
xn
3.
1
(−1) n
xn =
n
9
-1
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
5

6. Классификация числовых последовательностей

Последовательность {xn} называется возрастающей,
если
xn xn+1
n N
Any
/любой/
A
Последовательность {xn} называется убывающей,
если
xn xn+1
n N
монотонные последовательности
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
6

7.

Последовательность {xn} называется ограниченной
сверху, если
M R : xn M
n N
to EXIST
/существовать/
E ограниченной
Последовательность {xn} называется
снизу, если
M R : xn M
n N
Последовательность {xn} называется ограниченной,
если
M 0 : | xn | M
n N
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
7

8. Пример. Показать, что последовательность

3n − 1
xn =
2n + 3
является возрастающей и ограниченной.
► Определим знак разности xn+1 − xn .
11
xn+1 − xn = 3(n + 1) − 1 − 3n − 1 = 3n + 2 − 3n − 1 =
0
2(n + 1) + 3 2n + 3 2n + 5 2n + 3 (2n + 5)(2n + 3)
хn x1 = 2 / 5
3n 3
3n
3n − 1
=
xn =
2n + 3 2n + 3 2n 2
2
3
xn
5
2
xn
3
2
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
8

9. Примеры

xn = 2 n x
Примеры
xn
n
1
xn =
2
1
n
2
n
n
возрастающая неограниченная
убывающая ограниченная
xn
xn
xn = 1+ 2n
1
xn = 1− 2n
n
1
n
возрастающая неограниченная
убывающая неограниченная
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
9

10. Предел числовой последовательности

xn =
2n
n +1
3
xn
2-
1-
1
2
3 4 5 6
7 8 9 10
n
def
lim xn = 2 0 N ( ) N : n N ( ) xn − 2
n →
N (1) = 1
1
N = 3
2
1
N = 5
3
1
N = 7
4
N (0,01) = ?
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
10

11. Определение предела числовой последовательности

def
lim xn = a 0 N ( ) N : n N ( ) xn − a
n →
xn U (a )
a − xn a +
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел числовой
последовательности.
11

12.

Пример:
q 1
lim q n = 0
n→
► ε 0
N (ε ) = ?
| q n − 0 | ε
| q n − 0 | ε n lg | q | lg ε ⟺
n lg ε lg | q | | q |n ε
N ( ) = max 1;[lg ε lg | q |] ◄
Название дисциплины
12

13.

13