Логарифмы ЕГЭ

1.

ЛОГАРИФМЫ
Понятные правила • короткие примеры • практика
logₐ b = x ⇔ aˣ = b
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b.
a>0
a≠1
b>0
основание положительное
основание не равно 1
аргумент положительный
Например: log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8

2.

ТРИ БЫСТРЫХ ПРАВИЛА
Эти случаи лучше узнавать сразу — без долгих вычислений.
Логарифм единицы
01
Логарифм основания
02
Основное тождество
03
logₐ 1 = 0
logₐ a = 1
a^(logₐ b) = b
a⁰ = 1, поэтому ответ всегда 0.
a¹ = a, поэтому ответ равен 1.
Степень и логарифм с одним
основанием взаимно отменяются.
ПРИМЕР
ПРИМЕР
log₇ 1 = 0
ПРИМЕР
log₉ 9 = 1
5^(log₅ 12) = 12

3.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЧАСТНОЕ
Внутри логарифма умножение и деление превращаются в сложение и вычитание.
Произведение
04
Частное
05
logₐ(b · c) = logₐ b + logₐ c
logₐ(b / c) = logₐ b − logₐ c
Умножение внутри логарифма → сумма двух логарифмов.
Деление внутри логарифма → разность двух логарифмов.
ПРИМЕР
ПРИМЕР
log₂(4 · 8) = 2 + 3 = 5
ПРОИЗВЕДЕНИЕ → СУММА
log₂(32 / 4) = 5 − 2 = 3
ЧАСТНОЕ → РАЗНОСТЬ

4.

РАБОТА СО СТЕПЕНЯМИ
Показатель степени можно вынести перед логарифмом.
Степень аргумента
06
Степень основания
07
Степени с обеих сторон
08
logₐ(bᶜ) = c · logₐ b
logₐᶜ b = 1/c · logₐ b
logₐⁿ(bᵐ) = m/n · logₐ b
Показатель становится множителем
перед логарифмом.
Показатель основания переходит в
знаменатель.
Степень аргумента — сверху, основания
— снизу.
ПРИМЕР
ПРИМЕР
log₂(8²) = 2 · 3 = 6
ПРИМЕР
log₄ 8 = ½ · 3 = 3/2
log₄(8³) = 3/2 · 3 = 9/2

5.

ПЕРЕСТАНОВКА И СМЕНА ОСНОВАНИЯ
Два полезных приёма для преобразования логарифмов.
09
Взаимно обратные логарифмы
Переход к новому основанию
10
logₐ b = 1 / log_b a
logₐ b = log_c b / log_c a
Меняем местами основание и аргумент — получаем обратную
величину.
Можно выбрать удобное основание, например 10.
ПРИМЕР
ПРИМЕР
log₂ 8 = 3 → log₈ 2 = 1/3
log₂ 7 = log₁₀ 7 / log₁₀ 2

6.

ЕЩЁ ДВА ТОНКИХ МОМЕНТА
Используй эти свойства внимательно и проверяй условия.
Произведение логарифмов
Модуль при чётной степени
logₐ b · log_c d = log_c b · logₐ d
logₐ(bᶜ) = c · logₐ|b|
Можно поменять местами основания a и c, не меняя аргументы.
Для чётного целого c: отрицательное b после возведения в степень даёт
положительное число.
log₂ 3 · log₃ 4 = log₃ 3 · log₂ 4 = 2
log₂((-3)²) = 2 · log₂ 3
ВАЖНО ПРО МОДУЛЬ
logₐ(b · c) = logₐ|b| + logₐ|c|
logₐ(b/c) = logₐ|b| − logₐ|c|
Формулы с модулями применимы, когда исходный аргумент логарифма положителен.

7.

МИНИ-ИГРА: ПОЙМАЙ ПРАВИЛО
Реши примеры самостоятельно, а затем сверься с ответами.
01
log₅ 1
ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ
A. 5
02
log₃ 27
B. 0
03
log₂(4 · 8)
C. 8
D. 3
04
log₂(16²)
E. 2
05
log₃(81 / 9)

8.

ШПАРГАЛКА НА ОДИН ВЗГЛЯД
Главное — запомнить направление преобразования.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ЧАСТНОЕ
СТЕПЕНЬ АРГУМЕНТА
→ СЛОЖЕНИЕ
→ ВЫЧИТАНИЕ
→ МНОЖИТЕЛЬ
СТЕПЕНЬ ОСНОВАНИЯ
СМЕНА ОСНОВАНИЯ
→ ЗНАМЕНАТЕЛЬ
→ ДРОБЬ ЛОГАРИФМОВ
ПЕРЕД РЕШЕНИЕМ ПРОВЕРЬ: a > 0, a ≠ 1, аргумент > 0