Логарифмическая функция

1. Логарифмическая функция

Преподаватель математики СПб ГБПОУ
колледжа отраслевых технологий «Краснодеревец»
Костерина Е.В.

2.

Цели урока:
Познакомить учащихся с видом логарифмической функции, её
основными свойствами; научить строить график логарифмической
функции с данным основанием, использовать свойства логарифмической
функции при решении задач
Задачи урока:
• Рассмотреть определение логарифмической функции, свойств
логарифмов; выработать навыки их применения.
• Развивать логическое мышление, память, исследовательские качества
учащихся; развивать рефлексивные умения через проведение анализа
результатов урока.
• Развивать речь как показатель интеллектуального и общего развития
обучающегося; воспитывать аккуратность, точность; развивать
коммуникативные качества.

3. Содержание

СОДЕРЖАНИЕ
1. Понятие логарифма.
2. Графики логарифмических функций.
3. Свойства логарифмов.
4. Решение логарифмических уравнений.
5. Решение логарифмический неравенств.
завершить

4. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую

ЛОГАРИФМОМ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА B ПО
ПОЛОЖИТЕЛЬНОМУ И ОТЛИЧНОМУ ОТ 1 ОСНОВАНИЮ
А НАЗЫВАЮТ ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ, В КОТОРУЮ
НЕОБХОДИМО ВОЗВЕСТИ ЧИСЛО А, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ
ЧИСЛО B.
a (0;1) (1; )
b (0; )
log a b x a b
x
Пример:
log 2 8 3 2 8
3

5. В зависимости от значения основания приняты два обозначения

В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ЗНАЧЕНИЯ ОСНОВАНИЯ
ПРИНЯТЫ ДВА ОБОЗНАЧЕНИЯ
1. Если основанием является 10, то вместо log10 x
пишут lg x.
2.
Для введения следующего определения стоит
понимать что за число e.
Число е есть предел, к которому стремится
при неограниченном возрастании n. Т.е 1 1
n
Вместо loge x принято писать ln x.
n
1
e lim 1 2,718281...
n
n
n

6. Можно выделить три формулы

Из определения логарифма следует
следующее тождество:
a
loga b
b
МОЖНО ВЫДЕЛИТЬ ТРИ
ФОРМУЛЫ
log a a 1
log a 1 0
Примеры:
3
log3 5
5
lg 1 0
log a a c
c
ln e 1

7. Графики логарифмических функции

ГРАФИКИ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
ФУНКЦИИ
1. y = lg x
2. y = ln x
3. y = loga x, a>1
4. y = loga x, 0<a<1
5. Свойства функции.
содержание

8. График функции y=lg x

ГРАФИК ФУНКЦИИ Y=LG X
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

9. График функции y=ln x

ГРАФИК ФУНКЦИИ Y=LN X
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

10. График функции y=loga x

ГРАФИК ФУНКЦИИ Y=LOGA X
a>1
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

11. График функции y=loga x

ГРАФИК ФУНКЦИИ Y=LOGA X
0<a<1
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

12. Свойства f(x)=loga x

СВОЙСТВА F(X)=LOGA X
1.
D(f)=(0;+∞);
2.
Не является ни четной, ни нечетной;
3.
При a>1 функция возрастающая, при 0<a<1 функция
убывающая;
4.
Не ограничена;
5.
Не имеет ни максимального, ни минимального значения;
6.
Непрерывна;
7.
E(f)=(- ∞;+ ∞);
8.
Асимптота х=0;
9.
Выпукла вверх при a>1, выпукла вниз при 0<a<1
Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

13. Свойства логарифмов

СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
1. Логарифм произведения.
2. Логарифм частного.
3. Логарифм степени.
4. Логарифм корня.
5. Переход от одного показателя к другому.
6. Свойства натуральных логарифмов.
содержание

14. 1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

1. ЛОГАРИФМ ПРОИЗВЕДЕНИЯ РАВЕН СУММЕ
ЛОГАРИФМОВ МНОЖИТЕЛЕЙ:
log x ab log x a log x b
2. ЛОГАРИФМ ЧАСТНОГО РАВЕН ЛОГАРИФМОВ
ДЕЛИМОГО БЕЗ ЛОГАРИФМА ДЕЛИТЕЛЯ:
a
log x log x a log x b
b

15. 3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

3. ЛОГАРИФМ СТЕПЕНИ РАВЕН ПРОИЗВЕДЕНИЮ
ПОКАЗАТЕЛЯ СТЕПЕНИ НА ЛОГАРИФМ ЕЕ
ОСНОВАНИЯ:
log x a m log x a
m
4. ЛОГАРИФМ КОРНЯ РАВЕН ОТНОШЕНИЮ
ЛОГАРИФМА ПОДКОРЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ И
ПОКАЗАТЕЛЯ КОРНЯ:
log
a
m
x
log x a
m

16. 5. Переход от одного основания к другому

5. ПЕРЕХОД ОТ ОДНОГО ОСНОВАНИЯ К ДРУГОМУ
log b x
1
log a x
log a x
log b a
log x a

17. Свойства натуральных логарифмов

СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ
ЛОГАРИФМОВ
Чтобы по известному десятичному логарифму числа х найти
его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный
логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:
lg x
lg x
ln x
2.30259 lg x
lg e 0.43429
Чтобы по известному натуральному логарифму числа х
найти его десятичный логарифм, нужно умножить
натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм
числа е:
lg x lg e ln x 0.43429 ln x
Число lg e=0.43429 называется модулем
десятичных логарифмов и обозначается через М.

18. Решения логарифмических уравнений

РЕШЕНИЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
log x 5 2
log 4 x 0,5
x 5
x 4
x 5 , т.к. 5 0
x 2
Ответ : x 5
Ответ : x 2
2
0 .5
4 2

19.

Решить уравнение:
2 x 2 x 4 2 x 1 5
x
x
1 2 x 1 2
Пусть m 2 , причем m 0;1 1;
m m 4 2m 5
m 2 4m 2m 5 0
m 2 6m 5 0
b
a 1, k 3, c 5
2
D1 k 2 ac 4
m1, 2
k D1
3 2
a
m1 1, но m 1
Значит,
m2 5
2 5 x log 2 5
x
Ответ : x log 2 5.

20. Решение логарифмических неравенств

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ
НЕРАВЕНСТВ
2x 3
log 0.5 x 0
log 0.5 x 0
2 2
x 1
x log 2 3
Ответ : x (0;1)
x
log2 3
Ответ : x log 2 3; .

21. Решите неравенство:

РЕШИТЕ НЕРАВЕНСТВО:
10
x
2
2 3 10 x 2
Пусть t 10 , t 0,
x
t 2
2
3t 2
t 2 4t 4 3t 2 0
t 7t 6 0
2
t 1 t 6 0
1 t 6
1 10 x 6
0 x lg 6
Ответ : x 0; lg 6 .

22.

Спасибо за внимание