Логарифмическая функция

1. Логарифмическая функция

2. Содержание

1. Понятие логарифма.
2. Графики логарифмических функций.
3. Свойства логарифмов.
4. Решение логарифмических уравнений.
5. Решение логарифмический неравенств.
завершить

3. Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую

необходимо возвести число а, чтобы получить число b.
a (0;1) (1; )
b (0; )
log a b x a b
x
Пример:
log 2 8 3 2 8
3

4. В зависимости от значения основания приняты два обозначения

1.
2.
Если основанием является 10, то вместо log10 x пишут
lg x.
Для введения следующего определения стоит понимать
что за число e.
Число е есть предел, к которому стремится 1 1 при
n
неограниченном возрастании n. Т.е
n
n
1
e lim 1 2,718281...
n
n
Вместо loge x принято писать ln x.

5. Можно выделить три формулы

Из определения логарифма следует
следующее тождество:
a
loga b
b
Можно выделить три формулы
log a 1 0
log a a 1
log a a c
c
Примеры:
3
log3 5
5
lg 1 0
ln e 1

6. Графики логарифмических функции

1. y = lg x
2. y = ln x
3. y = loga x, a>1
4. y = loga x, 0<a<1
5. Свойства функции.
содержание

7. График функции y=lg x

2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

8. График функции y=ln x

4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

9. График функции y=loga x

a>1
6
5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

10. График функции y=loga x

0<a<1
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
-5
-6
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24

11. Свойства f(x)=loga x

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
D(f)=(0;+∞);
Не является ни четной, ни нечетной;
При a>1 функция возрастающая, при 0<a<1 функция убывающая;
Не ограничена;
Не имеет ни максимального, ни минимального значения;
Непрерывна;
E(f)=(- ∞;+ ∞);
Асимптота х=0;
Выпукла вверх при a>1, выпукла вниз при 0<a<1
Стоит заметить, что график проходит через точки (1;0) и (а;1)

12. Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения.
2. Логарифм частного.
3. Логарифм степени.
4. Логарифм корня.
5. Переход от одного показателя к другому.
6. Свойства натуральных логарифмов.
содержание

13. 1. Логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей:

log x ab log x a log x b
2. Логарифм частного равен логарифмов делимого без
логарифма делителя:
a
log x log x a log x b
b

14. 3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:

log x a m log x a
m
4. Логарифм корня равен отношению логарифма
подкоренного выражения и показателя корня:
log
a
m
x
log x a
m

15. 5. Переход от одного основания к другому

log b x
1
log a x
log a x
log b a
log x a

16. Свойства натуральных логарифмов

Чтобы по известному десятичному логарифму числа х найти
его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный
логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:
lg x
lg x
ln x
2.30259 lg x
lg e 0.43429
Чтобы по известному натуральному логарифму числа х
найти его десятичный логарифм, нужно умножить
натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм
числа е:
lg x lg e ln x 0.43429 ln x
Число lg e=0.43429 называется модулем
десятичных логарифмов и обозначается через М.

17. Решения логарифмических уравнений

log x 5 2
log 4 x 0,5
x 5
x 4
x 5 , т.к. 5 0
x 2
Ответ : x 5
Ответ : x 2
2
0 .5
4 2

18.

Решить уравнение:
2 x 2 x 4 2 x 1 5
x
x
1 2 x 1 2
Пусть m 2 , причем m 0;1 1;
m m 4 2m 5
m 2 4m 2m 5 0
m 2 6m 5 0
b
a 1, k 3, c 5
2
D1 k 2 ac 4
m1, 2
k D1
3 2
a
m1 1, но m 1
Значит,
m2 5
2 5 x log 2 5
x
Ответ : x log 2 5.

19. Решение логарифмических неравенств

log 0.5 x 0
2x 3
log 0.5 x 0
2 x 2 log2 3
x 1
x log 2 3
Ответ : x (0;1)
Ответ : x log 2 3; .

20. Решите неравенство:

10
x
2
2 3 10 x 2
Пусть t 10 , t 0,
x
t 2
2
3t 2
t 2 4t 4 3t 2 0
t 7t 6 0
2
t 1 t 6 0
1 t 6
1 10 x 6
0 x lg 6
Ответ : x 0; lg 6 .

21.

Над презентацией работали:
Пуковский Никита
Середина Полина
Спасибо за внимание