Урок 12. Свойства параллелограмма

1.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны
попарно параллельны.
AB || DC, AD || BC
B
A
C
D

2.

Свойства параллелограмма
В
С
В
С
D
А
А
В
С
О
А
D
D

3.

Свойства параллелограмма
Сумма углов, прилежащих к одной стороне
параллелограмма, равна 180о
В
С
А + В = 180
0
В + С = 180
0
С + D = 180
А
D
D + A = 180
0
0

4.

5.

№ 3 Диагональ ВD параллелограмма АВСD образует с его сторонами углы, равные 70о и 45о. Найдите меньший угол
параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
А + В = 180
о
В = 70+ 45 = 115о
120о
А = 180о − 115о =
= 65о
65
3
10 х
х

6.

№4
Найдите острый угол параллелограмма АВСD, если биссектриса угла А образует со стороной ВС угол, равный 29о.
Ответ дайте в градусах.
B
Е
29о
А = 29+29 = 58о
29о
29о
A
C
D
58
3
10 х
х

7.

01.10.2026
К л а с с н а я р а б о т а.
Параллелограмм. Свойства
параллелограмма.

8.

Задача 1. Найдите углы параллелограмма, если:
а) сумма двух его углов равна 100о;
В
С
Дано: АВСD – пар-м,
∠А + ∠С = 100о
Найти: ∠А, …, ∠D
А
D
Решение.
1) ∠А = ∠С = 100о : 2 = 50о (св-во пар-ма)
2) ∠A + ∠В = 180о, т.к. они ОУ при AD || ВС и секущей
АВ.
∠В = 180о – 50о = 130о = ∠D
Ответ: 50о и 13оо.

9.

Задача 1. Найдите углы параллелограмма, если:
б) разность двух его углов равна 40о;
В
С
х + 40
Дано: АВСD – пар-м,
∠В – ∠А = 40о
Найти: ∠А, …, ∠D
х
D
А
Решение.
1) ∠A + ∠В = 180о, т.к. они ОУ при AD || ВС и секущей
АВ.
2) х + х + 40 = 180
2х = 140
х = 70
Ответ: 70о и 11оо.
∠А = ∠С = 70о
∠В = ∠D = 110о

10.

Задача 1. Найдите углы параллелограмма, если:
в) два его угла относятся как 3 : 7.
В
С
7х
Дано: АВСD – пар-м,
∠А : ∠В = 3 : 7
Найти: ∠А, …, ∠D
3х
D
А
Решение.
1) ∠A + ∠В = 180о, т.к. они ОУ при AD || ВС и секущей
АВ.
2) хо – градусная мера одной части
10х = 180
х = 18
Ответ: 54о и 126о.
∠А = ∠С = 54о
∠В = ∠D = 126о

11.

Свойства параллелограмма
Биссектриса любого угла параллелограмма
отсекает от него равнобедренный треугольник
В
А
С
D

12.

12
3
12
1
2
16
Дано: АBCD – парал-м,
АK – биссектриса,
ВK = 12, СK = 16
Найти: РАВСD
Решение.
1) ∠1 = ∠2 (т.к. АK – биссектриса)
∠3 = ∠2 (НЛУ при АD || ВC и сек. АK)
∠1 = ∠3
ΔАВK – р/б
АВ = ВK = 12
2) РАВСD = 2 · (12 + 12 + 16) = 80
Ответ: 80.

13.

Почему не существует треугольника со сторонами
14, 6 и 7.
Неравенство треугольника.
6
7
14
14<6+7

14.

Неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон.
АВ < ВС + АС
В
ВС < АВ + АС
АС < АВ + ВС
А
С
Достаточно проверять
выполнение неравенства для большей стороны.

15.

Неравенство треугольника.
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Найдите треугольники, которые не существуют.
В
R
6
12
С
Достаточно проверить
выполнение неравенства
для большей стороны.
18
14
14<6+7
18<12+8 (Верно)
N
8
7
А
В
Q
11
4
С
8
9
11<4+7
7
N
14<9+8 (Верно)
14

16.

У треугольника не хватает одной стороны.
Какое из предложенных чисел подойдет?
R
3
8
А
8<6+3
В
5
8<5+3
12
12<8+3
3
8<3+3
11
11<8+3
6

17.

Периметр параллелограмма равен 20 см.
Может ли быть одна из диагоналей 11 см?
В
десять сантиметров
с
е
н
А
С
т
е
у
тв
с
е
ущ
D
Какое наибольшее целое значение может принимать длина одной из диагоналей этого параллелограмма?

18.

Задача.
В
160о
10о
С
Дано: АВСD – пар-м,
Р = 24 см, ∠В = 160о,
А
10о
10о
∠САD = 10о
D
Найти: АВ, ВС, СD, АD
Решение.
1) ∠ВАD + ∠В = 180о, т.к. они ОУ при AD || ВС и
секущей АВ.
∠ВАD = 180о – 160о = 20о
2) ∠ВАС = 20о – 10о = 10о
3) ∠ВСА = ∠DАС = 10о, т.к. они НЛУ при AD || ВС и
секущей АС.

19.

Задача.
В
160о
10о
С
Дано: АВСD – пар-м,
Р = 24 см, ∠В = 160о,
А
10о
10о
∠САD = 10о
D
Найти: АВ, ВС, СD, АD
Решение.
4) Значит, ΔАВС – равнобедренный, т.е. АВ = ВС.
5) По свойству пар-ма АВ = ВС = СD = DА =
= 24 : 4 = 6 см
Ответ: 6 см.

20.

Домашнее задание
Периметр параллелограмма равен 42 см. Найдите
его стороны, если:
а) одна из них больше другой на 3 см;
б) их дины относятся как 2 : 5.