Lect_5

1.

Сегодня: среда, 30 сентября 2026 г.
Лекция 5
Динамика вращательного
движения

2. Динамика вращательного движения твердого тела

Вращательным движением твердого
тела будем называть такое движение, при
котором все точки тела движутся по
окружностям, центры которых лежат на одной
и ой же прямой, называемой осью вращения.
Для изучения динамики вращательного
движения к известным кинематическим
величинам добавляются ещё три величины:
момент инерции (J), момент силы (M) и
момент импульса (L)

3. Момент инерции

Разобьем тело на такие малые
части, что каждую из них
можно считать материальной
точкой. Пусть mi – масса i – ой
материальной точки, ri – ее
расстояние до некоторой оси
O.

4.

Величина, равная произведению
массы материальной точки на квадрат
расстояния ее до данной оси,
называется моментом инерции
материальной точки относительно оси:
2
I i = m i ri

5.

Сумма моментов инерции всех
материальных точек тела называется
моментом инерции тела
относительно некоторой оси:
n
I=
i =1
2
m i ri

6.

Для тел более сложной формы n
суммирование выражения I = m i ri2
i =1
производится методами
интегрального исчисления согласно
формуле
2
I = r dm
где интегрирование производится по всему
объему тела. Величина r в этом случае есть
функция положения точки с координатами
x,y,z.

7.

В качестве примера
найдем момент
инерции
однородного диска
относительно оси,
перпендикулярной к
плоскости диска и
проходящей через
его центр.

8.

Разобьем диск на
кольцевые слои
толщиной dr. Все
точки одного слоя
будут находится на
одинаковом
расстоянии от оси,
равном r . Объем
такого слоя равен
dV = b 2 rdr

9.

где b - толщина диска. Поскольку диск
однороден, плотность его во всех
точках одинакова и масса
элементарного слоя
dm = 2 rb dr
Теперь по формуле
I = r dm
находим момент инерции
2

10.

R
I = r b2 rdr
2
0
R
R – радиус диска
4
R
I = 2 b r dr = 2 b
4
0
3

11.

Наконец, введя массу диска m равную
произведению плотности на
объем диска b R 2 , получим
mR
I=
2
2

12.

Значения моментов инерции для некоторых тел
(тела - однородные, m — масса тела).
Момент
инерции
стержня
относительно оси, перпендикулярной к стержню и
проходящей через его середину
равен (b <<l).
1 2
I = ml
12
Момент инерции тонкого кольца, обруча, трубы радиусом R
относительно оси, совпадающей с геометрической осью кольца,
обруча, трубы
I = mR
2

13.

Момент инерции диска или цилиндра относительно оси,
совпадающей с геометрической осью цилиндра (при любом
отношении R к l )
1 2
I = mR
2
Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей
через его центр
2 2
I = mR
5

14.

Теорема Штейнера:
Нахождение момента инерции
является не сложным, если его
искать относительно оси симметрии. Если бы мы захотели
найти момент инерции диска
относительно, например, оси
О'О', вычисления оказались бы
более сложными.
Теорема Штейнера: момент инерции I относительно
произвольной оси равен сумме момента инерции IC
относительно оси, параллельной данной и проходящей через
центр масс тела, и произведения массы тела т на квадрат
расстояния а между осями:
I = I C + ma 2

15. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Пусть твердое тело вращается
вокруг неподвижной оси ОО .
Мысленно разобьем тело на
материальные точки массой mi.
Каждая материальная точка
движется по окружности радиуса
ri с линейной скоростью
.
vi

16.

Кинетическая
энергия
вращающегося тела
равна сумме
кинетических
энергий этих точек:
EK =
i
2
mi vi
2

17.

Линейная скорость
материальной точки
зависит от расстояния
до оси вращения ri :
v i = ri
где
- угловая скорость тела

18.

Отсюда
2
2
EK =
m i ri
2 i
I
EK =
2
2
где I – момент инерции тела относительно
оси вращения, - его угловая скорость.

19.

В случае плоского движения тела,
например, шара, скатывающегося с
наклонной плоскости без скольжения,
энергия складывается из энергии
поступательного движения и энергии
вращения:
2
mv c
2
Ic
EK =
+
2
2
где m – масса тела; vc – скорость центра масс
тела; Ic – момент инерции тела относительно
оси, проходящей через его центр масс; угловая скорость тела.

20.

Из опыта известно: ускорение
вращательного движения зависит не
только от величины силы, действующей
на тело, но и от расстояния от оси
вращения до линии, вдоль которой
действует сила. Для характеристики
этого обстоятельства вводится
физическая величина называемая
моментом силы.

21.

Моментом силы относительно
некоторой точки “O” называется
векторная величина , определяемая
выражением М=[r,F] , где r – радиусвектор, проведенный из точки “O” в
точку приложения силы.

22.

M
l=rsin
О
r
F
Из определения
следует, что M
является
аксиальным
вектором. Его
направление
выбрано так, что
вращение вектора
вокруг точки “O” в
направлении силы и
вектор M образуют
правовинтовую
систему.

23.

M
l=rsin
О
r
F
Модуль момента силы
равен M = r Fsin = l F ,
где – угол между
направлениями векторов
r и F, а l = r·sin – длина
перпендикуляра,
опущенного из точки “O”
на прямую, вдоль
которой действует сила
(называется плечом
силы относительно
точки “O”)

24. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Пусть тело
вращается
вокруг оси 0 под
действием
силы
F
Рассчитаем работу этой силы.

25.

При повороте тела
на бесконечно
малый угол d
точка приложения
силы B проходит
путь d = r d
Элементарная работа равна
dA = F r d = F r dt

26.

Эта работа идет на увеличение
кинетической энергии вращающегося
тела, т.е.
dA = dE K
I
= I d
dE K = d
2
2
Поэтому
F r dt = I d

27.

Радиус окружности r является плечом силы
F, следовательно
Mdt = Id
d
M=I
= I
dt

28.

Учтя, что векторы M и имеют
одинаковое направление, придем к
соотношению
M = I
Это – основное уравнение динамики
вращательного движения вокруг неподвижной
оси.

29.

Оно напоминает второй закон Ньютона для
поступательного движения. Роль массы
играет момент инерции I, роль линейного
ускорения – угловое ускорение , роль
силы – момент силы М.
Из этого уравнения, в частности, видно, что
момент инерции I определяет инерционные
свойства тела при вращении: при одном и
том же значении момента сил М, тело с
большим моментом инерции приобретает
меньшее угловое ускорение .

30.

Заметим, что работа при вращении
тела согласно dA = F r d = F r dt
равна
dA = M d
(сравним с формулой для работы
при поступательном движении тела
dA = FSdS

31.

Момент импульса материальной
точки вводится аналогично моменту
силы. Моментом импульса L
относительно точки О называется
векторная величина, определяемая
выражением
L = rp = m rv

32.

L
L = rp = m rv
l=rsin
где r – радиус-вектор,
О
r
p
проведенный из точки “O”
в ту точку пространства, в
которой находится
материальная точка, p = mv
Вводя плечо l = r·sin ,
модуль вектора L можно
записать в виде
L = rp sin = lp

33.

Если рассматривать
L = r , mv
r
mv
L
S численно равна L
как векторное
произведение r и mv
то направление
вектора L будет
перпендикулярно
плоскости,
где лежат
вектора r и mv .
L – численно равен
площади
параллелограмма,
построенного на r и
mv

34.

Момент импульса
твердого тела
относительно оси
равен сумме
моментов
импульсов всех его
точек:
L = m i v i ri
i

35.

Учитывая, что
L=
i
v i = ri
, получим:
2
mi ri =
2
mi ri = I
i
Итак, момент импульса твердого тела
относительно оси равен произведению
момента инерции тела относительно этой же
оси на угловую скорость.
L = I

36. Закон сохранения момента импульса

Продифференцируем уравнение
по времени:
dL
d
=I
= I = M
dt
dt
dL
=M
dt
L = I

37.

В замкнутой системе момент внешних
сил M = 0
dL
=0
dt
L = const
Закон сохранения момента импульса:
момент импульса замкнутой системы
сохраняется, т.е. не изменяется с течением
времени.

38. Поле тяготения

Первая попытка создания модели Вселенной –
Птолемей (~ 140 г.). В центре мироздания Птолемей
поместил Землю, вокруг которой по большим и малым
кругам, как в хороводе, двигались планеты и звезды
(геоцентрическая система).

39.

К началу XVII столетия большинство ученых
окончательно убедилось в справедливости
гелиоцентрической системы мира.
Согласно этой системе, предложенной
Николаем Коперником, Земля и все
остальные планеты движутся вокруг Cолнца,
которое является центром нашей
планетарной системы.
Иоган Кеплер, обработав результаты
многочисленных наблюдений, проведенных
Тихо Браге (датчанин)и им самим, получил
законы движения планет вокруг Солнца:

40.

Законы Кеплера
Изучение движения планет и строения
Солнечной системы и привело к созданию теории
гравитации – открытию закона всемирного
тяготения.
Условное изображение
наблюдаемого движения
Марса на фоне неподвижных
звезд.

41.

Первый закон Кеплера (1609 г.):
► Все планеты движутся по эллиптическим орбитам, в
одном из фокусов которых находится Солнце.
Эллиптическая орбита планеты массой m << M.
а – длина большой полуоси, F и F' – фокусы орбиты.

42.

Второй закон Кеплера (1609 г.):
► Радиус-вектор планеты описывает в равные
промежутки времени равные площади.
Закон площадей – второй закон Кеплера.

43.

Третий закон Кеплера (1619 г.):
► Квадраты периодов обращения планет относятся как
кубы больших полуосей их орбит:
2
T
=
const
3
a
или
2
1
3
1
2
2
3
2
T T
= .
a a
Круговая и эллиптическая
орбиты. При R = a периоды
обращения тел по этим
орбитам одинаковы.

44.

Закон всемирного тяготения
Законы Кеплера нуждались в теоретическом
обосновании. Решающий шаг в этом направлении был
сделан Исааком Ньютоном, открывшим в 1682 году
закон всемирного тяготения:
Mm
F =G 2
R
Здесь M и m – массы Солнца и планеты, R – расстояние
между ними, G = 6,67·10–11 Н·м2/кг2 – гравитационная постоянная.

45.

Mm
F =G 2
R
Сила, с которой две материальные
точки притягивают друг друга,
пропорциональна массам этих точек и
обратно пропорциональна квадрату
расстояния между ними.

46.

Гравитационное поле
Гравитационное поле - поле, которое создает
вокруг себя тело, обладающее массой. Посредством
гравитационных полей взаимодействуют физические
объекты.
Для количественной характеристики поля тяготения
вводится физическая величина, называемая
напряженностью гравитационного поля. Напряженность
поля численно равна отношению силы тяготения,
действующей на тело, к массе этого тела:
F
E=
m

47.

F
E=
m
Напряженность определяется силой, действующий
со стороны поля на материальную точку единичный
массы.
Напряженность поля является вектором,
направленным в ту же сторону, что и сила тяготения.

48.

Свойство консервативности гравитационных сил
позволяет ввести понятие потенциальной энергии. Для
сил всемирного тяготения удобно потенциальную энергию
отсчитывать от бесконечно удаленной точки.
Потенциальная энергия тела массы m,
находящегося на расстоянии r от неподвижного тела
массы M, равна работе гравитационных сил при
перемещении массы m из данной точки в
бесконечность.
Математическая процедура вычисления
потенциальной энергии тела в гравитационном поле
состоит в суммировании работ на малых перемещениях.

49.

Работа сил гравитационного
поля
m
m
M
R
Рис. 33
dR
Вычислим работу, которую
надо затратить для удаления
тела массой m от Земли.
На расстоянии R на тело
действует сила.
Mm
F=G 2
R

50.

При перемещении тела на расстояние dR совершается
работа
Mm
dA = −G 2 dR
R
Знак (-) появляется потому, что сила и перемещение
противоположны по направлению.
При перемещении тела на конечное расстояние
работа равна
R2
R2
GM GM
Mm
A = dA = − G 2 dR = m
−
R1
R
R2
R1
R1

51.

R2
R2
GM GM
Mm
A = dA = − G 2 dR = m
−
R1
R
R2
R1
R1
Из полученной формулы видно, что работа в
поле тяготения не зависит от траектории, а
определяется лишь начальным и конечным
перемещением тела, т.е. силы тяготения –
консервативные силы.

52.

Вспомним, что работа, совершаемая
консервативными силами, равна изменению
потенциальной энергии системы, взятому с
обратным знаком.
(
)
A = − E П2 − E П1 = E П1 − E П2
Сравним выражение с формулой
R2
R2
GM GM
Mm
A = dA = − G 2 dR = m
−
R1
R
R2
R1
R1

53.

Получим
GM GM
E П1 − E П 2 = −m
−
R2
R1
Если принять потенциальную энергию при
R 2 → равной нулю, то формула примет вид:
GMm
E П1 =
R1

54.

Так как первая точка была выбрана
произвольно, то потенциальная энергия
тела массы m в поле тяготения
GMm
EП = −
R
Потенциалом поля тяготения называется скалярная
величина
E
=
p
m
равная потенциальной энергии тела единичный
массы в данной точке поля (или работе по
перемещению единичной массы из данной точки
поля в бесконечность).

55.

Потенциал поля тяготения,
создаваемого телом М, равен
M
= −G
R
где R – расстояние от этого тела до
рассматриваемой точки.
Потенциал - энергетическая характеристика поля
тяготения.

56.

Движение в гравитационном поле
Если тело находится в гравитационном поле на
некотором расстоянии r от центра тяготения и имеет
некоторую скорость , его полная механическая
энергия равна
m
Mm
E = K +U =
−G
= const
2
r
2
Знак полной энергии определяет характер движения
небесного тела.

57.

Диаграмма энергий тела массой m в гравитационном поле,
создаваемом сферически симметричным телом массой M и
радиусом R.

58.

► При E = E1 < 0, тело не может удалиться от
центра притяжения на расстояние r > rmax. В этом случае
небесное тело движется по эллиптической орбите
(планеты Солнечной системы, кометы).
► При E = E2 = 0 тело может удалиться на
бесконечность. Скорость тела на бесконечности будет
равна нулю. Тело движется по параболической
траектории.
► При E = E3 > 0 движение происходит по
гиперболической траектории. Тело удаляется на
бесконечность, имея запас кинетической энергии.

59.

Космические скорости
Законы Кеплера применимы не только к движению
планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к
движению искусственных спутников Земли и космических
кораблей. В этом случае центром тяготения является
Земля.
Первой космической скоростью называется
скорость движения спутника по круговой орбите вблизи
поверхности Земли.
m 12
Mm
= G 2 1 = G M
=
RЗ
RЗ
RЗ
gRЗ = 7,9 10 м / с.
3

60.

Второй космической скоростью называется
минимальная скорость, которую нужно сообщить
космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он,
преодолев земное притяжение, превратился в
искусственный спутник Солнца (искусственная планета).
При этом корабль будет удаляться от Земли по
параболической траектории.
m
Mm
E = K +U =
−G
=0
2
r
2
2 = 2G M
RЗ
= 2 gRЗ = 11,2 10 м / с.
3

61.

Третья космическая скорость – скорость
движения, при которой тело может покинуть пределы
Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца
3 = 16,7 10 м / с.
3

62.

Космические скорости.
Указаны скорости вблизи поверхности Земли. 1 – υ = υ1 – круговая
траектория; 2 – υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3 –
υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс; 4 – υ = υ2 –
параболическая траектория; 5 – υ > υ2 – гиперболическая
траектория; 6 – траектория Луны.

63. Эквивалентность масс

Под действием силы притяжения к
Земле все тела падают с одинаковым
ускорением, которое принято
обозначать буквой . Это означает, что в
системе отчета, связанной с Землей, на
всякое тело массой m действует сила.
P = mg
называемая силой тяжести.

64.

Вследствие вращения Земли вокруг собственной оси сила
тяжести несколько отличается от силы тяготения. Если
пренебречь суточным вращением Земли, то сила тяжести и
сила гравитационного притяжения равны между собой:
F =G
mg M
2
З
R
= mg g
mg – гравитационная (тяготеющая) масса
mg
F
M mg
a=
=G 2
=g
min
RЗ min
min
min – инертная масса

65.

a = g следовательо,
m =m
g
in
1867 г. Ньютон доказал это равенство с точностью до 10–3.
1901 г. венгерский физик Этвеш получил такое совпадение
с точностью до 10–8.
1964 г. американский ученый Дикке улучшил точность
измерения в 300 раз.
Тождественность инерциальной и гравитационной
масс Эйнштейн положил в основу общей теории
относительности.