Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

712.50K

Category:

physics

Механика. Кинематика

1. Механика

Кинематика

2. Кинематика

Кинематика изучает движение тел, не
рассматривая причины, которые это
движение обуславливают.

3. Физические модели

Материальная точка – это тело, форма и размеры которого
несущественны в условиях данной задачи.
Абсолютно твердое тело – это тело, деформацией
которого в условиях данной задачи можно пренебречь, и
расстояние между любыми двумя точками этого тела
остается постоянным.
Абсолютно упругое тело – это тело, деформация которого
подчиняется закону Гука, а после прекращения внешнего
силового воздействия такое тело полностью
восстанавливает свою первоначальную форму.
Абсолютно неупругое тело – это тело, полностью
сохраняющее деформированное состояние после
прекращения действия внешних сил.

4. Виды движения

Поступательное движение – это движение, при
котором любая прямая, жестко связанная с
телом, остается параллельно своему
первоначальному положению.
Вращательное движение – это движение, при
котором все точки тела движутся по
окружностям, центры которых лежат на одной и
той же прямой, называемой осью вращения.

5. Система отсчета

Система отсчета – это совокупность
системы координат и часов, связанных с
телом отсчета.
Тело отсчета – произвольно выбранное
тело, относительно которого
определяется положение тела.

6.

r x i y* j z *k
r
x2 y 2 z 2
x x(t )
y y (t )
z z (t )

7. Движение

Прямолинейное движение
Криволинейное движение

8. Длина пути

Длиной пути точки называется сумма длин
всех участков траектории, пройденных
этой точкой за рассматриваемый
промежуток времени.
r r r0 r (t ) r (t0 ) x * i y * j z * k
Если
t 0, то dS dr dr

9. Скорость

Скорость – векторная величина, которая определяет
как быстроту движения тела, так и его направление в
данный момент времени.
Средняя скорость
r
t
S
t

10. Мгновенная скорость

Мгновенная скорость – векторная величина,
равная первой производной по времени от r
r
dr
lim
r
t 0 t
dt
Вектор мгновенной скорости направлен по
касательной к траектории в сторону движения.
Модуль мгновенной скорости – скалярная
величина.
r
S dS
lim
lim
t 0 t
t 0 t
dt
t2
S (t ) dt
t1

11. Ускорение

at
Ускорение
Ускорение – векторная величина, характеризующая
быстроту изменения скорости
по модулю и
направлению. a
t
Мгновенное ускорение
d
a lim
r
t 0 t
dt

12. Ускорение

at
Ускорение
a an at
dv
at
dt
an
n
dt
2
r
a an2 at2

13. Виды движения

Прямолинейное, равномерное движение;
at 0, an 0, a 0
S *t
x(t ) x0 * t
Прямолинейное, равноускоренное движение;
at a const , an 0
0 0
at a
t
t t0
t
(t ) 0 at
t
at 2
S ( 0 at ) dt 0t
2
0
dS
S
dt

14.

Равномерное движение по окружности;
2
at 0, an const
r
Криволинейное, равнопеременное движение.
at 0,
an 0

15. Кинематика вращательного движения

d
Угловое перемежение
– векторная величина,
модуль которой равен
углу поворота, а
направление совпадает
с направлением
поступательного
движения правого
винта.

16.

Угловая скорость
d
dt
Угловое ускорение
d
t
Модуль скорости
lim
S
R
lim
R lim
R
t 0 t
t 0 t
t 0 t
R * sin

17.

Т
2
1
Т 2

18. Равноускоренное вращательное движение

const
0 t
0 0 t
an
2
t 2
2R2
2
2R
R
R
d d ( R )
d
at
R
R
dt
dt
dt
d
S dt Rdt R
R
dt
t1
t1
t1
t2
t2
t2

19. Динамика материальной точки

20. Первый закон Ньютона

Материальная точка или тело сохраняет
состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения пока воздействие
со стороны других тел не заставит ее
изменить это состояние.
Стремление тела сохранить состояние покоя
или равномерного прямолинейного движения
называется инертностью.

21.

Существуют инерциальные системы
отсчета, такие, что относительно которых
материальная точка, не подверженная
воздействию других тел, движется
равномерно и прямолинейно.

22. Сила

Сила – векторная величина, которая
является мерой механического действия на
тело со стороны других тел или полей, в
результате которого тело приобретает
ускорение или изменяет форму и размеры.
Силы бывают:
Центральные
Нецентральные
1кг * м
1Н
с2

23. Механическая система

Механическая система – совокупность
материальных точек (тел),
рассматриваемых как единое целое.
Замкнутая (изолированная) механическая
система - механическая система, не
взаимодействующая с внешними телами,
на нее не действуют внешние силы.

24.

Масса – физическая величина, одна из
основных характеристик материи,
определяющая ее инерциальные и
гравитационные свойства.
Плотность показывает, как плотно
упакованы молекулы в единице объема:
Импульс
dm
dV
p m

25. Второй закон Ньютона

F
a ;
m
d
d (m ) dp
F ma m
m
p
dt
dt
dt

26.

Скорость изменения импульса материальной
точки равна действующей на нее силе.
p p 2 p1
dp F * dt
t2
p F * dt
t1

27. Принцип независимости действия сил:

Если на материальную точку действуют
одновременно несколько сил, то каждая их
этих сил сообщает материальной точке
ускорение, согласно второму закону
Ньютона, как будто других сил не было.

28. Третий закон Ньютона

Всякое действие материальных точек
(тел) друг на друга имеет характер
взаимодействия. Силы, с которыми тела
действуют друг на друга, всегда равны по
модулю, противоположны по направлению
и действуют вдоль одной прямой,
соединяющей эти точки.

29. Закон сохранения импульса.

Импульс замкнутой системы не
изменяется с течением времени.
n
p mi 1 const
i 1

30. Закон движения центра масс

Центр масс (инерции) системы –
воображаемая точка С, положение
которой характеризует распределение
массы этой системы.
mi r1
n
rc i 1
m
n
d c
m
Fi
dt
i 1

31. Силы в механике

1)
Закон всемирного тяготения
(гравитационные силы).
mm
F G 12 2
r
mT m3
mT a G
R2
m3
g a G 2 9,81 м 2
с
R

32. Вес тела

Вес тела – сила, с которой тело вследствие
притяжения к Земле действует на опору или
подвес.
P mg
Сила тяжести действует всегда, а вес
проявляется лишь тогда, когда на тело
кроме силы тяжести действуют другие силы.
Невесомость – состояние тела, при котором
оно движется только под действием силы
тяжести.
P m( g a )
P m( g a )

33.

2) Сила упругости возникает в результате
взаимодействия тел, которая
сопровождается их деформацией.
F k * r ,
где r – радиус – вектор, характеризующий
смещение частицы из положения
равновесия, k – коэффициент упругости

34.

3) Сила трения – скольжения.
Возникает при скольжении данного тела по
поверхности другого.
Fупр kN,
где k- коэффициент трения-скольжения,
зависит от природы и состояния
соприкасающихся поверхностей, N – сила
нормального давления.
Сила трения направлена по касательной к
поверхностям в сторону, противоположную
движению.

35. Работа и энергия

Энергия – универсальная мера различных
форм движения и взаимодействия.
Работа силы – количественная
характеристика процесса обмена энергией
между взаимодействующими телами.

36.

A Fs S FS cos
2
2
1
1
A FdS cos Fs dS

37.

Потенциальная сила – сила, работа которой
определяется лишь начальным и
конечным положением тела и не зависит
от формы пути.
Мощность N
dA Fdr
N
( F , )
dt
dt

38. Кинетическая и потенциальная энергия

Кинетическая энергия – мера механического
движения системы.
dEk dA
d
dA Fdr ma dr m
dr dK
dt
v
m 2
K mvdv
2
0

39. Свойства кинетической энергии:

Является функцией состояния системы;
Всегда положительна;
Неодинакова в разных инерциальных
системах;

40. Потенциальная энергия

Потенциальная энергия W – механическая
энергия системы тел, определяемая их
взаимодействием и характером сил между
ними.
Зависит от конфигурации системы и ее
положения по отношению к внешним
телам.

41.

Энергия тела на определенной высоте:
W mgh
Потенциальная энергия пружины:
2
kx
W
2
Закон сохранения энергии:
В системе тел, между которыми действуют
только консервативные силы, полная
механическая энергия сохраняется, не
изменяется со временем.
E Ek E p
E const

42. Соударения

Удар – столкновение двух или более тел,
при котором взаимодействие длится очень
короткое время.
Центральный удар – удар, при котором
тела до удара движутся по прямой,
проходящей через их центры масс.

43. Абсолютно упругий удар

Абсолютно упругий удар – столкновение двух тел, в
результате которого в обоих взаимодействующих телах
не остается никаких деформаций, и вся кинетическая
энергия, которой обладали тела до удара, после удара
снова превращается в кинетическую энергию.
Выполняются законы сохранения импульса и энергии.
m1 1 m2 2 m1 1 m2 2
2
2
2
2
m1 1
m2 2
m1 1
m2 2
2
2
2
2
(m m2 ) * 1 2m2 2
1 1
m1 m2

44. Абсолютно неупругий удар

Абсолютно неупругий удар – столкновение двух тел,
в результате которого тела объединяются, двигаясь
дальше как единое целое.
Выполняется только закон сохранения импульса.
Закон сохранения механической энергии не
выполняется.
m1 1 m2 2 (m1 m 2 )
m1 1 m 2 2
m1 m2
Если m1 m2 , то
1 2
2

45.

Вследствие деформации часть кинетической
энергии переходит во внутреннюю энергию
тел (разогрев). Соответственно, уменьшение
энергии равно
m1 1 m2 2
(m1 m2 ) 2
E (
)
2
2
2
2
2
Если
2 0 , то m1 1 ; E
m1 m2
m2
m1 1
m1 m2
2
2

46. Механика твердого тела

47. Момент инерции

Моментом инерции материальной точки
относительно оси вращения называется
произведение массы точки на квадрат
расстояния до оси
J mi ri
2

48.

Моментом инерции тела относительно оси
вращения называется физическая величина,
равная сумме произведений масс
материальных точек на квадраты их расстояний
до рассматриваемой оси.
m
J mi ri
2
i 1
m
J r 2 dm
o
Главный момент инерции – момент инерции
относительно оси вращения, проходящий через
центр масс.

49. 50. Теорема Штейнера

Момент инерции тела относительно произвольной
оси равен сумме моментов его инерции
относительно параллельной оси, проходящей через
центр масс тела, и произведения массы тела на
квадрат расстояния между осями.
J z J c mr 2
l 2 1
1 2 1 2
2
J z J c m( ) ml ml ml
2
12
4
3

51. Кинетическая энергия вращения

2
m
mi i
mi ( i ri ) 2 m
J
E вр
mi ri 2
2
2
2 i 1
2
i 1
i 1
m
2
m 2 J 2
E
2
2

52. Момент силы

Момент силы относительно неподвижной
точки О – физическая величина,
определяемая векторным произведением
радиус-вектора, проведенного из точки О
в точку А приложения силы.
M r, F
M F r sin Fl , l r sin

53. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

M J

54. Момент импульса и закон его сохранения

L r,
m
L
m r J
i i i
i 1
L const
dL
M
L
dt

55. 56. Деформация твердого тела

Деформация – изменение формы и размеров
твердых тел под действием внешних сил.
Пластическая деформация – деформация,
которая сохраняется в теле после
прекращения действия внешних сил.
Упругая деформация – деформация, при
которой после прекращения действия
внешних сил тело принимает
первоначальные размер и форму

57. Виды деформации

Растяжение
Сжатие
Кручение
Изгиб
Сдвиг