Лекция 21. Метод расчета статически определимых плоских стержневых систем. (1)

1. Лекция 21.

Метод расчета статически
определимых плоских стержневых
систем.

2. Расчет плоских стержневых систем.

Расчет плоских стержневых систем включает в себя
основные этапы:
1. Определение опорных реакций.
2. Определение внутренних усилий в стержнях.
3. Расчет на прочность.
4. Определение деформаций.
А
В

3. Расчет плоских стержневых систем.

Определение опорных реакций.
F = 0
x
R −q 2 = 0
ax
R = q 2 = 20 кН
ax

4. Расчет плоских стержневых систем.

Определение опорных реакций.
Ma = 0
Rby 4 + q 2 3 − F 2 = 0
Mb = 0
−Ray 4 − Rax 1 + q 2 4 + F 2 = 0
−q 2 3 + F 2
Rby =
= −11 кН
4
Ray =
−Rax 1 + q 2 4 + F 2
= 19 кН
4

5. Расчет плоских стержневых систем.

Определение опорных реакций.
Заменим направление реакции Rby на
противоположное, и уберем знак
«-» полученный при определении
реакции.
Выполним проверку решения,
составив уравнение проекций всех
сил на вертикальную ось, с учетом
изменения направления реакции Rby
F = 0
y
R −R −F = 0
ay
by

6. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Для определения внутренних усилий в стержнях рамы предварительно
выделим и пронумеруем все необходимые расчетные сечения по двум
критериям: геометрическому и силовому.
Выделяются сечения:
- В местах закрепления рамы
(опоры, заделка);
- На свободных концах рамы;
- В узлах рамы, на каждом из
стержней входящих в узел.
Выделяются сечения:
- До и после точки приложения
внешней сосредоточенной
нагрузки (сила, момент);
- В начале и в конце приложения
распределенной нагрузки.

7. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Выделяются сечения:
- В местах закрепления рамы
(опоры, заделка);
- На свободных концах рамы;
- В узлах рамы, на каждом из
стержней входящих в узел.
Выделяются сечения:
- До и после точки приложения
внешней сосредоточенной
нагрузки (сила, момент);
- В начале и в конце приложения
распределенной нагрузки.

8. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры продольных сил N:
При расчете продольной силы внешние нагрузки учитываются со знаком “+”
если они стремятся растянуть рассматриваемый участок стержня относительно
сечения и со знаком “-” если они стремятся сжать данный участок.
N1 = −Ray = −19 кН
N2 = N1 = −19 кН

9. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры продольных сил N:
При расчете продольной силы внешние нагрузки учитываются со знаком “+”
если они стремятся растянуть рассматриваемый участок стержня относительно
сечения и со знаком “-” если они стремятся сжать данный участок.
N3 = −Raх = −20 кН
N4 = −Raх = −20 кН
N5 = −Raх = −20 кН
N6 = −Raх = −20 кН
(N6 = −q 2 = −20 кН)

10. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры продольных сил N:
При расчете продольной силы внешние нагрузки учитываются со знаком “+”
если они стремятся растянуть рассматриваемый участок стержня относительно
сечения и со знаком “-” если они стремятся сжать данный участок.
N9 = Rby = 11 кН
N8 = Rby = 11 кН
N7 = Rby = 11 кН
(N7 = Ray − F = 11 кН)

11. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры поперечных сил Q:
При расчете поперечной силы внешние нагрузки учитываются со знаком “+”
если они стремятся повернуть рассматриваемый участок стержня относительно
сечения по часовой стрелке и со знаком “-” если они стремятся повернуть
данный участок против часовой стрелки.
Q1 = −Rax = −20 кН
Q2 = Q1 = −20 кН

12. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры поперечных сил Q:
При расчете поперечной силы внешние нагрузки учитываются со знаком “+”
если они стремятся повернуть рассматриваемый участок стержня относительно
сечения по часовой стрелке и со знаком “-” если они стремятся повернуть
данный участок против часовой стрелки.
Q3 = Ray = 19 кН
Q4 = Ray = 19 кН
Q5 = Ray − F = 11 кН
Q6 = Ray − F = 11 кН
(Q6 = Rby = 11 кН)

13. Расчет плоских стержневых систем.

2. Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры поперечных сил Q:
При расчете поперечной силы внешние нагрузки учитываются со знаком “+”
если они стремятся повернуть рассматриваемый участок стержня относительно
сечения по часовой стрелке и со знаком “-” если они стремятся повернуть
данный участок против часовой стрелки.
Q9 = Q8 = 0
Q7 = q 2 = 20 кН
(Q7 = Rax = 20 кН)

14. Расчет плоских стержневых систем.

2. Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры изгибающих моментов М:
М1 = 0
М2 = Rax 4 = 80 кНм

15. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры изгибающих моментов М:
Mузла = 0
М2 = M3 = 80 кНм
М4 = Rax 4 − Ray 2 = 42 кНм

16. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры изгибающих моментов М:
М5 = M4 = 80 кНм
М6 = Rax 4 − Ray 4 + F 2 = 20 кНм

17. Расчет плоских стержневых систем.

Определение внутренних усилий в стержнях.
Построение эпюры изгибающих моментов М:
М9 = M8 = 0
М7 = q 2 1 = 20 кНм

18. Расчет плоских стержневых систем.

Определение деформаций.
Каждая точка плоской рамы может перемещаться в вертикальном и
горизонтальном направлении, поэтому для определения полного
перемещения любой точки рамы необходимо определить как
вертикальное, так и горизонтальное ее перемещение.
Для определений деформаций в раме наиболее часто используются
графоаналитические методы решения интеграла Мора: правило
Верещагина или формула Симпсона.
Общая методика применения данных методов в применении к
плоским рамам не имеет существенных отличий от применения их для
расчета деформаций в балках.

19. Расчет плоских стержневых систем.

Определение деформаций.
Определение деформаций в плоской раме включает следующие
основные этапы:
1. Построение эпюры изгибающих моментов от действия внешних
нагрузок.
2. Составление
единичной
системы
(для
определения
горизонтального перемещения точки рамы единичная сила
прикладывается к данной точке горизонтально, для определения
вертикального перемещения - вертикально.
3. Построение единичной эпюры изгибающих моментов.
4. Определение горизонтального или вертикального перемещения
точки рамы путем перемножения соответствующих эпюр с
использованием правила Верещагина или формулы Симпсона.

20. Расчет плоских стержневых систем.

Определение деформаций.
Рассмотрим раннее рассчитанную раму и определим горизонтальное
перемещение точки С.
Для определения горизонтального
перемещения точки С,
Освободим раму от приложенных
внешних нагрузок и приложим к
точке С горизонтальную силу,
равную 1 (безразмерая величина).
А
В

21. Расчет плоских стержневых систем.

Определение деформаций.
Определим величину опорных реакций.
Fx = 0
Raх − 1 = 0
Rax = 1
Ma = 0
Rby 4 + 1 4 = 0
Rby = −1
Проверка : Fy = 0
Ray + Rby = 0
Mb = 0
−Ray 4 + 1 5 − Rax 1 = 0
Ray = 1

22. Расчет плоских стержневых систем.

Определение деформаций.
Построим единичную эпюру изгибающих моментов.
MI 1 = 0
MI 3 = MI 2 = 4
MI 5 = 0
MI 2 = Rax 4 = 4
MI 4 = Rax 4 − Ray 4 = 0
MI 6 = 0

23. Расчет плоских стержневых систем.

Определение деформаций.
Перемножим полученную ранее грузовую и единичную
изгибающих моментов с использованием формулы Симпсона.
эпюру
2
4
2
80
4
+
2
80
4
+
2
42
2
+
80
2
+
42
4
+
(
)
(
)
874,7
1 6
6
Xc =
=
EI x 2
EI x
+ ( 2 42 2 + 20 2 )
6

24. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

К плоско-пространственным стержневым системам (рамам) относятся
системы у которых стержни лежат в одной плоскости, а приложенный
внешние нагрузки действуют как в плоскости рамы, так и
перпендикулярно ей.
В плоско- пространственных стержневых системах в поперечных
сечениях стержней могут действовать 6 внутренних силовых факторов.
Для проведения расчетов прочность
в плоско-пространственных
достаточно построения эпюр
изгибающих и крутящих моментов.

25. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Общий порядок расчета плоско-пространственной стержневой системы
включает в себя:
- определение опорных реакций (если это необходимо, так как в
консольных системах возможен расчет от свободных концов рамы
без определения реакций в заделке);
- выделение необходимых расчетных сечений;
- формирование «скользящей» системы координат;
- построение эпюр внутренних силовых факторов;
- определение расчетного момента;
- подбор сечения рамы.

26. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Выделяются сечения:
- В местах закрепления рамы (опоры,
заделка);
- На свободных концах рамы;
- В узлах рамы, на каждом из стержней
входящих в узел.
Выделяются также сечения:
- До и после точки приложения
внешней сосредоточенной
нагрузки (сила, момент);
- В начале и в конце приложения
распределенной нагрузки.

27. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Формирование «скользящей» системы координат.
Формирование системы координат
предпочтительно начинать от заделки:
Ось Z направляется вдоль первого
участка, ось Х – горизонтально, ось Y –
вертикально.
Для остальных участков система
координат формируется вращением
вокруг оси Y, таким образом, что бы
ось Z совмещалась с последующим
участком.

28. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры изгибающих моментов относительно оси Х.
M x1 = 0
M x 2 = −F l12 = −15 кНм

29. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры изгибающих моментов относительно оси Х.
Mx 3 = 0
M x 4 = −F l34 = −30 кНм

30. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры изгибающих моментов относительно оси Х.
M x 5 = −M x 2 = 15 кНм
M x 6 = −F ( l 56 − l12 ) = −30 кНм

31. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры изгибающих моментов относительно оси Y.
My 1 = 0
l12
M y 2 = q l12
= 5 кНм
2

32. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры изгибающих моментов относительно оси Y.
M y 3 = M y 2 = 5 кНм
l12
M y 4 = q l12
= 5 кНм
2

33. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры изгибающих моментов относительно оси Y.
M y 5 = M y 4 = 5 кНм
l
M y 6 = −q l12 l 56 − 12 = −25 кНм
2

34. Расчет плоско-пространственных стержневых систем.

Построение эпюры крутящих моментов относительно оси Z.
M z12 = 0
M z 34 = F l12 = 15 кНм
M z 56 = F l 34 = 30 кНм