Лекция 5 Применение комплексных чисел

1. БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова Кафедра электротехники, О8

Лекция 5
Применение комплексных чисел к расчету
электрических цепей
переменного тока
1

2.

Комплексные числа
Из курса математики известно, что любое комплексное число А можно представить :
1.
2.
3.
4.
A = A'+ jA' '
в алгебраической форме:
в тригонометрической форме: A = А cos + A sin
A = Ae j
в показательной форме:
вектором на комп. плоскости.
j = −1
j 2 = −1
-мнимая единица
A' = Re( A) = A cos
A' ' = Im( A) = A sin
- реальная часть комплексного числа А
- мнимая часть комплексного числа А
+j (Im)
A = ( A' ) 2 + ( A' ' ) 2 -модуль к. числа
A = Ae j
A’’
j
e = cos + j sin -формула Эйлера
= arg( A)
-аргумент комп. числа
0
+1 (Re)
A’
2

3.

Комплексные числа
A''
= arctg ' , 0; если A' 0
A
A''
= arctg ' , 0; если A' 0
A
e j -оператор поворота
Умножение любого числа на ej поворачивает вектор на угол
Умножение любого числа на e j /2 поворачивает вектор на угол 90° против(по)
часовой стрелки
+j
A = Ae j
A1 = Ae
j
e
j
2
+1
0
A2 = Ae j e
−j
2
3

4.

Два числа имеющие одинаковые модули и разнознаковые
аргументы называются сопряженными числами.
Комплексное число:
Сопряженное число:
Умножение:
) = A'+ jA' ' = Ae j
A(A
*
A = A'− jA' ' = Ae − j
*
A = A2
A
При сложении (вычитании) комплексных чисел удобно воспользоваться
алгебраической формой записи:
18
jarctg −14
2
2 − j 52
− j 52
A1 = 14 − 18 j = A1 e
= 14 + 18 e
= 22,8e
jarctg 37
2
2 j 58
j 58
23
A 2 = 23 + 37 j = A 2 e
= 23 + 37 e
= 43,57 e
+A
= 14 + 23 + j (−18 + 37 ) = 37 + j19 = 41,2e j 27
A
1
2
При умножении и делении удобнее пользоваться показательной
формой записи
B = 140 e j 78
1
= 17,5e j 36
B
1
j 78
B
140
e
140 j ( 78−36)
j ( 42)
B = 1 =
=
e
= 8e
= 8 cos 42 + j8 sin 42 = 5,95 + j 5,35
3
B
17,5e j 36 17,5
2

5.

В векторной форме:
+j
A 2 = 43,57 e j 58
37
A1 + A2 = 41,2e j 27
19
0
-18
14
+1
23
37
A1 = 22,8e − j 52
5

6.

Ток и напряжение в комплексной форме:
Рассмотрим синусоидальный ток
i (t ) = I m sin( t + i )
Комплексное число
I m e j ( t + i ) = I m e j i e j t = I m e j t
Обведенные выражения соответствуют
максимальному току Im и начальной фазе i
которая вращается с угловой скоростью .
Если воспользуемся формулой Эйлера
I m e j ( t + i ) = I m cos( t + i ) + jIm sin( t + i )
И сравним полученное выражение с мгновенным током i(t)
i(t ) = mI m e j ( t + i ) = mI m e j ( t )
+j
I m e j ( t + i )
= t + i
+1
Синусоидальный ток равен проекции на мнимую ось (+j) вращающегося вектора
на комплексной плоскости
6

7.

Образы тока, напряжения и ЭДС
Комплексное число
Мгновенное значение
i (t ) = I m sin( t + i )
u (t ) = U m sin( t + u )
I
I = m e j = I cos i + jI sin i
2
U m j u
U=
e
= U cos u + jU sin u
2
E m j e
E=
e
= E cos e + jE sin e
2
e(t ) = Em sin( t + e )
Действующие значения
I=
Im
2
U=
Um
2
E=
Em
2
7

8.

Закон Ома для активного сопротивления, индуктивности и емкости в комплексной форме
i = 2 I sin( t + i )
I = Ie j ( t + i )
U r = Ie j ( t + i ) r
u = U sin( t + u ) = I m sin( t + i ) r
Закон Ома для r в комплексной форме
dI sin( t + i )
uL = L m
dt
j ( t + i )
d
I
dIe
U = L = L
= j LIe j ( t + i ) = Ie j ( t + i ) jxL
dt
dt
Закон Ома для L в комплексной форме
1
uC =
I m sin( t + i )dt
C
U r = I r
U L = I jxL
1
1
U =
Ie j ( t + i ) dt =
Ie j ( t + i ) = Ie j ( t + i ) (− jxC )
C
j C
Закон Ома для C в комплексной форме
U L = −I jxC
8

9.

Законы Кирхгофа в комплексной форме
Первый Закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма комплексных токов в узле равно нулю
n
I 3
I 1
I k = 0
k =1
I 1 + I 2 − I 3 = 0
I 2
I 1 = 3,4 + j5,7
I 2 = −7,0 + j 2,2
I = I + I = 3,4 + j5,7 − 7,0 + j 2,2 = −3,6 + j7,9
3
1
2
Второй Закон Кирхгофа в комплексной форме
Сумма комплексных ЭДС в замкнутом контуре равна сумме комплексных падений
напряжения в этом контуре.
p
n
E = U
k
k =1
m
m =1
9

10.

Расчёт электрических цепей комплексными числами
i = 2 I sin( t + i )
Составим второй закон Кирхгофа для мгновенных значений напряжений:
di 1
u = ur + u L + uC = ri + L +
idt
dt C
Составим второй закон Кирхгофа для образов мгновенных значений напряжений:
U = U r + U C + U L = I r + I jxL + I (− jxC ) =
= I (r + jx − jx ) = I (r + j ( x − x )) = I Z
L
C
L
C
Закон Ома в комплексной форме для действующих значений
U
I =
Z
Z –комплексное сопротивление
Z = r + j ( xL − xC ) = r + jx
10

11.

Последовательное соединение активного сопротивления, реальной катушки
индуктивности и реального конденсатора
Комплексные сопротивления
элементов:
Z1=r
Z2=rC - jxC
Z3=rk+jxL
Zэкв= Z1+ Z2 + Z3 = r+ rC - jxC + rL + jxL
Zэкв= (r + rL + rC )+j(xL - xC )
rэкв
xэкв
rэкв
xэкв
Комплексное эквивалентное сопротивление:
Zэкв =rэкв +jxэкв
Zэкв

12.

Последовательное соединение активного сопротивления, реальной катушки
индуктивности и реального конденсатора (пример)
i = 7,07 sin( 314t + 30 )
R = 27 Ом;
rC = 3 Ом; xC = 67 Ом;
rL = 10 Ом;
Найти u(t)
Комплекс действующего тока
I =
Im
2
xL = 37 Ом;
Комплекс напряжение найдем по закону Ома
e j 30 = 5e j 30 А
Экв. комплексное сопротивление
Z = ( R + rC + rL ) + j ( xL − xC ) =
= (27 + 3 + 10) + j (37 − 67) = 40 − j30 Ом
Мгновенное значение u(t)
U = I Z = 5e j 30 (40 − j 30) =
= 5e j 30 50e − j 37 = 250 e − j 7
Амплитуда Um
U m = U 2 = 250 2 = 353,55 B
u = 353,55 sin( 314t − 7 )