Лекция 4 Цепи переменнного тока

1. БГТУ «ВОЕНМЕХ» им. Д.Ф. Устинова Кафедра электротехники, О8

Лекция 4
Расчет электрических цепей
переменного тока
1

2.

Представление синусоидальной функции в векторной форме
Рассмотрим вектор длиной Um, который вращается в декартовой системе
координат x-y, против часовой стрелки с угловой скоростью .
y
Um
Um
x
Um
- амплитуда напряжения;
u
- начальная фаза напряжения;
2
=
= 2 f
T
- циклическая частота или угловая скорость вращения
вектора напряжения.
2

3.

Имеем узел, где встречаются 3 тока:
i1
i3
Мгновенные значения токов:
i1 (t ) = I1m sin( t + i1 )
i2 (t ) = I 2 m sin( t + i 2 )
i2
Для заданного узла составим уравнение на основании первого закона Кирхгофа
i3 (t ) = i1 (t ) + i3 (t )
В уравнение подставим мгновенные значения токов i1(t) и i2(t) :
i3 (t ) = I1m sin( t + i1 ) + I 2 m sin( t + i 2 ) = I 3m sin( t + i 3 )
Определение амплитуды I3m и 3 начальной фазы этого тока путем
соответствующих тригонометрических преобразований получается
довольно громоздким и мало наглядным.
3

4.

Для данного узла составим первый закон Кирхгофа, используя векторов для
действующих значений I1 и I2
Действующие
значения токов:
I1 =
I2 =
I1 + I 2
I2
I1m
2
I 2m
2
Первый закон Кирхгофа
I1
i2
i1
0
i3 (t ) = i1 (t ) + i3 (t )
I 3 = I1 + I 2
Совокупность векторов, изображающих синусоидально
изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, называют векторными
диаграммами.
Их применение делает расчет цепи более наглядным и простым.

5.

Примеры:
i
Активный элемент
i (t ) = I m sin( t + i )
I r ( I rm )
ur (t ) = i r = I m r sin( t + i )
= U rm sin( t + i )
Фазовый сдвиг
= ir − ur = 0
r
ur
U r (U rm )
Ir
Ur
Напряжение на активном элементе совпадает по фазе с током = 0°
Закон Ома
Закон Джоуля -Ленца
U = Ir
P = I 2 r Вт
5

6.

Примеры:
i
Индуктивный элемент
u
I L ( I Lm )
i (t ) = I m sin( t + i )
di(t )
u L (t ) = L
= I m L sin( t + i + 90 )
dt
UL
= I m xL sin( t + i + 90 )
L
U L (U Lm )
= U Lm sin( t + i + 90 )
Фазовый сдвиг
iL − uL = 90
2
IL
Напряжение на индуктивном элементе опережает ток по фазе на 90°
Закон Ома
Закон Джоуля -Ленца
U = IxL
Q = I 2 xL ВАр
6

7.

Примеры:
Ёмкостной элемент
i (t ) = I m sin( t + i )
I С ( I Сm )
С
i
u
С
U С (U Сm )
IC
1
1
uС (t ) =
I m sin( t + i ) = I m
sin( t + i − 90 )
С
C
= I m xC sin( t + i − 90 )
= U Cm sin( t + i − 90 )
Фазовый сдвиг
2
UC
iL − uL = 90
Напряжение на ёмкостном элементе отстаёт от тока по фазе на 90°
Закон Ома
Закон Джоуля -Ленца
U С = IxС
Q = I 2 xС ВАр
7

8.

Последовательное соединение rLC в цепи синусоидального переменного тока
i = 2 I sin t
u = 2U sin( t + )
Второй закон Кирхгофа для мгновенных напряжений
u = u r + u L + uC
UL
Составим второй закон Кирхгофа для векторов напряжений
U = U r + U L + UC
Фазовый сдвиг между
током I и напряжением U
Ux
U L − UC
= arctg
= arctg
Ur
Ur
U
UC
Ux= UL- UC
Ur
I
Векторная диаграмма для последовательного
соединения rLC
8

9.

Треугольники напряжений, сопротивлений и мощностей
U
Ux= UL- UC
Ur
полное
Если все стороны треугольника напряжений поделим на I
z
x=xL- xC
реактивное
активное
полная S
активная P
Треугольник напряжений
U 2 = U r2 + U x2 = U r2 + (U L − U C ) 2
Треугольник сопротивлений
z 2 = r 2 + x 2 = r 2 + ( xL − xC ) 2
r
Если все стороны треугольника напряжений умножим на I
реактивная
Треугольник мощностей
Q=QL- QC
S 2 = P 2 + Q 2 = P 2 + (QL − QC ) 2
P = S cos = UI cos
9

10.

Схемы замещения реальных элементов
1. Реальная катушка индуктивности
Реальная катушка индуктивности замещается последовательно соединенными
идеальными элементами:
• rk активное сопротивление катушки, учитывающие потери;
• xL (L) реактивное сопротивление индуктивности (индуктивность)
zk - полное сопротивление катушки
zк2 = rк2 + xL2 = rк2 + ( L) 2
2-й закон Кирхгофа
(в векторной форме)
U к = U rк + U L
Uк
Определение параметров схемы замещения реальной катушки
Uк
zк =
I
rк =
P
I2
xL =
zк2 − rк2
L=
xL
Ur
UL
I

11.

Схемы замещения реальных элементов
2. Реальный конденсатор
Реальный конденсатор замещается последовательно соединенными
идеальными элементами:
• rС активное сопротивление конденсатора, учитывающие потери;
• xС (С) реактивное сопротивление ёмкости (ёмкость)
zk - полное сопротивление конденсатора
1 2
zк2 = rк2 + xС2 = rк2 + (
)
С
2-й закон Кирхгофа
Ur I
(в векторной форме)
U С U Кон → -90°
U Кон = U rС + U С
UС
UКон
Определение параметров схемы замещения реальной катушки
U Кон
zС =
I
P
rС = 2
I
2
xС = zкон
− rС2
С = xC
11

12.

Пример расчёта последовательного соединения реальной катушки, резистора и
конденсатора
UC
3. xC = I
U
1. z = I
P
2. R + rк = 2
I
4. x = z 2 − ( R + rк ) 2
Измерения
Вычисления
I
U
P
Ur
UC
Uк
z
R+rk
1
58
55
36
52
40
58
55 33,6
x
5. = arctg R + r
к
6.
xL
x = xL − xC
x L = x + xC
zк
52 18,4 -18°
40
xC
x
Uк
7. zк =
I
12

13.

Построение векторной диаграммы
Измерения
Вычисления
I
U
P
UR
UC
Uк
z
R+rk
1
58
55
36
52
40
58
55 33,6
U = U R + U C + U rк + U L
Uк U к = U rк + U L
UL
xL
zк
52 18,4 -18°
40
xC
x
Треугольник сопротивлений
R+rk=55 Ом
z=58 Ом
Urк
UR
I
Треугольник мощностей
U
P=55 Вт
UC
x=xL-xC=18,4 Ом
UС + U R
S=58 BA
Q=18,5 BAp
13

14.

14