Момент силы относительно точки и оси. Теория пар сил

1.

МОМЕНТ СИЛЫ
ОТНОСИТЕЛЬНО
ТОЧКИ И ОСИ
И ТЕОРИЯ ПАР СИЛ
F
Обширная презентация по
теоретической механике
O
Понятия • формулы • свойства • расчётные
примеры • практическое значение
ТМО 252/1
Теоретическая механика • Статика
1

2.

СТ Р У К Т У РА
Что изучаем
01
Понятие момента силы
Что показывает вращательное действие силы и от чего оно зависит.
02
Момент относительно точки
Скалярная и векторная формы, плечо и знак момента.
03
Момент относительно оси
Проекция вектора момента на выбранную ось и алгоритм расчёта.
04
Теория пар сил
Определение пары сил, главный момент и её свойства.
05
Применение
Эквивалентность систем сил, равновесие и инженерные примеры.
Главная идея
Момент силы количественно описывает способность силы вращать тело относительно выбранной точки или оси.
Теоретическая механика • Статика
2

3.

1 . БА З О ВО Е П О Н Я Т И Е
Физический смысл момента силы
Сила может вызывать два эффекта:
• поступательное движение тела;
• вращение тела относительно точки или
оси.
F
Момент силы характеризует именно
вращательное действие.
Чем больше сила и чем дальше проходит
её линия действия от точки вращения, тем
больше момент.
Линия действия F
O
a — плечо
M=F·a
Теоретическая механика • Статика
где a — кратчайшее
расстояние от точки O до
линии действия силы.
3

4.

2 . О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И Ф О РМ УЛ Ы
Момент силы относительно точки
Векторное определение
⃗M₀ = ⃗r × ⃗F
⃗r — радиус-вектор от точки O до точки приложения силы; × —
векторное произведение.
Модуль:
M₀ = rF sin α
Скалярный расчёт через плечо
M₀ = F · a
a ⟂ линии действия F
Единица СИ
Н·м (ньютон-метр). Это не то же самое, что джоуль, хотя размерность одинакова.
Важно Если линия действия силы проходит через точку O, плечо a = 0, следовательно M ₀ = 0: сила не
создаёт вращательного эффекта относительно O.
Теоретическая механика • Статика
4

5.

2 . 1 . П РА В И Л О З Н А К О В
Знак и направление момента
На плоскости обычно используют
F
знаковое правило:
Векторное направление
Направление ⃗M₀ определяется правилом правой руки:
если пальцы направлены от ⃗r к ⃗F, большой палец
показывает направление момента.
O
+
Против часовой стрелки → обычно M > 0
оси x, y
По часовой стрелке → обычно M < 0
Не путать
Знак зависит от принятой ориентации осей и правила отсчёта. При
решении задачи сначала задайте положительное направление.
Теоретическая механика • Статика
5

6.

2 . 2 . М О М Е Н Т РА В Н ОД Е Й СТ ВУ Ю Щ Е Й
Теорема Вариньона
Момент равнодействующей системы сил относительно точки равен алгебраической
Теорема Вариньона
сумме моментов всех сил этой системы относительно той же точки.
M₀(R) = Σ M₀(Fᵢ)
R
F₁
F₂
Вместо сложного действия нескольких сил можно
работать с их равнодействующей — если правильно
учесть моменты.
O
Теоретическая механика • Статика
Практика: удобно выбирать точку O так, чтобы часть
неизвестных сил имела нулевой момент.
6

7.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент силы относительно оси
Осевой момент — это проекция вектора момента
относительно точки оси на направление самой оси.
z
Mₓ = ⃗M₀ · ⃗eₓ
⃗eₓ — единичный вектор вдоль оси x.
В координатах:
y
F
Mₓ = yF_z − zF_y
x
Аналогично: Mᵧ = zFₓ − xF_z; M_z = xFᵧ − yFₓ.
Теоретическая механика • Статика
Только составляющая момента вдоль
выбранной оси влияет на вращение вокруг этой
оси.
7

8.

3 . 1 . А Л Г О Р И Т М РАСЧ Ё ТА
Как найти момент относительно оси
1
Выбрать точку O на оси и задать положительное направление оси.
2
Записать радиус-вектор ⃗r и вектор силы ⃗F.
3
Найти ⃗M₀ = ⃗r × ⃗F.
4
Спроецировать ⃗M₀ на ось: Mₓ = ⃗M₀·⃗eₓ.
5
Проверить знак, единицы и физический смысл результата.
Совет
Если геометрия задачи позволяет, выбирайте ось так, чтобы вычисление проекции было максимально простым.
Теоретическая механика • Статика
8

9.

4. ПРИМЕР 1
Расчётный пример: момент относительно точки
Дано
Сила F = 200 Н действует
перпендикулярно плечу.
Плечо a = 0,35 м.
F = 200 Н
M₀ = F·a
M₀ = 200·0,35 = 70 Н·м
Ответ: 70 Н·м.
Теоретическая механика • Статика
O
a = 0,35 м
Такой пример показывает главное правило: при прямом
угле между силой и плечом sin 90° = 1.
9

10.

5. ПОНЯТИЕ ПАРЫ СИЛ
Теория пар сил
F
Пара сил — это две силы:
• равные по модулю;
• параллельные;
• направленные в противоположные стороны;
• приложенные к разным линиям действия.
d
F₁ = F ₂ = F
R=0
F
Результирующая сила пары равна нулю, но
вращательный эффект остаётся.
Теоретическая механика • Статика
10

11.

5 . 1 . ГЛ А В Н А Я Х А РА К Т Е Р И СТ И К А П А Р Ы
Момент пары сил
F
Момент пары сил равен произведению
модуля одной силы на плечо пары d —
кратчайшее расстояние между линиями
действия сил.
M=F·d
d
M
Вектор момента перпендикулярен плоскости
пары и определяется правилом правой руки.
Размерность
Момент пары сил измеряется в Н·м. При этом результирующая сила
равна нулю.
F
Теоретическая механика • Статика
11

12.

5 . 2 . Ч ТО ВА Ж Н О З А П О М Н И Т Ь
Свойства пары сил
01
Не имеет равнодействующей силы ΣF = 0, поэтому пара не вызывает поступательного ускорения как
02
Создаёт чистое вращение
Основной эффект — поворот тела.
03
Момент не зависит от выбранной точки
У свободной пары сил момент остаётся одинаковым при переносе
точки отсчёта.
04
Пару можно переносить
Если её силы и плечо сохраняют момент, действие на твёрдое тело
эквивалентно.
целое.
Ключевое отличие
У отдельной силы момент зависит от точки O; у свободной пары сил её результирующее вращательное действие характеризуется собственным
моментом.
Теоретическая механика • Статика
12

13.

5.3. ЗАМЕНА И ПЕРЕНОС
Эквивалентность пар сил
Две пары сил эквивалентны, если их моменты как векторы одинаковы:
⃗M₁ = ⃗M ⃗₂
В инженерной модели
Пример замены
F
Нагрузка от электродвигателя, тормозного
механизма, рукоятки или пары сил может быть
представлена одним моментом — так расчёт
становится проще.
d
Можно изменить положение пары, не меняя её момент.
M = const
F
Теоретическая механика • Статика
13

14.

6 . И Н Ж Е Н Е Р Н Ы Й С М Ы СЛ
Применение в задачах статики
Условия равновесия плоской системы
сил:
ΣFₓ = 0
Где встречается?
Ключ и гайка
вращение от усилия руки
Рычаг
увеличение механического
преимущества
Балка и опора
расчёт реакций опор
Шкив и вал
передача крутящего момента
ΣFᵧ = 0
ΣM_O = 0
Момент позволяет составлять третье
независимое уравнение равновесия и находить
неизвестные реакции, нагрузки или расстояния.
Чем лучше выбрана точка для моментов, тем короче и
надёжнее решение задачи.
Теоретическая механика • Статика
14

15.

Итоги
Момент силы и теория пар сил — ключевые инструменты статики и инженерных расчётов.
1
Момент относительно точки M₀ = F·a = rF sin α
2
Момент относительно оси Mₓ = ⃗M₀·⃗eₓ
3
Теорема Вариньона
Момент равнодействующей = сумма моментов сил
4
Пара сил
ΣF = 0, но M = F·d ≠ 0
5
Равновесие
ΣFₓ = 0; ΣFᵧ = 0; ΣM_O = 0
Спасибо за внимание
Теоретическая механика • Статика
Вопросы?
15