Линейная алгебра: матрицы и операции над ними

1. Раздел 1. Линейная алгебра. Лекция 1. Основные сведения о матрицах. Виды матриц. Операции над матрицами, их свойства .

Линейная алгебра – раздел высшей
математики,
который
широко
используется в теории вероятностей и
математической
статистике,
в
экономике, в исследовании операций
и др.

2. 1. Понятие матрицы

3.

Например,
1 0
A
2 3
2 5
3
8

4.

5.

Отрасли экономики
Ресурсы
Электроэнергия
Трудовые
ресурсы
Водные ресурсы
промышленност сельское
ь
хозяйство
5,3
2,8
4,8
4,1
2,1
4,1
5,3 5,1
A 2,8 2,1
3 2
4,8 5,1

6. 2. Виды матриц

Определение. Матрица, состоящая из
одной строки, называется матрицей
(вектором)-строкой, а из одного
столбца – матрицей-столбцом:

7.

8.

Определение. Квадратная матрица
называется диагональной, если все ее
элементы, расположенные вне главной
диагонали, равны нулю:
Например, диагональная матрица 3-го порядка

9.

Если у диагональной матрицы п-го
порядка все диагональные элементы
равны единице, то матрица называется
единичной п-го порядка и обозначается
буквой Е:
Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид

10.

Определение.
Матрица любого размера называется
нулевой или нуль – матрицей, если все
ее элементы равны нулю:
0
0
O
m n
...
0
0 ... 0
0 ... 0
... ... ...
0 ... 0

11. Определение.

Квадратная
матрица
называется
треугольной, если все ее элементы,
расположенные по одну сторону от
главной диагонали, равны нулю.
Например,
0
1 0
0 ,
2 5
3 1 3
1 2 3
0 5 1
0 0 3

12. 3. Операции над матрицами

a11
a21
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n a11 a12
... a2 n a21 a22
... ...
...
...
... amn am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

13.

20 12 6
10 6 3
2
52 2 0
26 1 0

14. 2) Сложение матриц

a11 ... a1n b11 ... b1n a11 b11 ... a1n b1n
A B ... ... ... ... ... ... ...
...
...
a
b
a b
...
a
...
b
...
a
b
mn m1
mn
mn
mn
m1
m1 m1

15.

Например,
Частный случай:
А + О = А.

16. 3) Вычитание матриц

Определение. Разность двух матриц
одинакового
размера
определяется
через предыдущие операции:
А – В = А + (−1) ∙ В.
Например,

17. Пример. Даны две матрицы

18. 4) Умножение матриц

Матрицу А можно умножить на
матрицу В только в том случае, когда
число столбцов матрицы А равно числу
строк матрицы В.
В результате умножения получится
матрица С, у которой столько же строк,
сколько их в матрице А, и столько же
столбцов, сколько их в матрице В, т.е.
A m n B n k C m k

19.

т.е.
a11
...
A B ai1
...
a
m1
a12
...
ai 2
...
am 2
... a1n
b11
... ...
b21
... ain
...
... ...
bn1
... amn
c11
...
ci1
...
c
m1
... c1 j
...
...
...
cij
...
...
... cmj
... b1 j
... b2 j
...
...
... bnj
... c1k
... ...
... cik
... ...
... cmk
... b1k
... b2 k
... ...
... bnk

20.

cij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj

21. Пример.

Вычислить произведение матриц А ∙ В,
где
Решение. Найдем размер матрицыпроизведения

22. 5) Возведение в степень

Определение.
Целой
положительной степенью Ат (т>1)
только квадратной матрицы А
называется произведение т матриц,
равных А, т.е.
По определению:

23. Пример.

24. 6) Транспонирование матрицы -

6) Транспонирование матрицы
A AT
a11
a21
A
m n
...
a
m1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
,
... ...
... amn
a11
a12
T
A
n m
...
a
1n
a21
a22
...
a2 n
... am1
... am 2
.
... ...
... amn

25.

Например,
Свойства операции транспонирования:
A A
A B A B
A A
A B B A
T T
T T
T
T
T
T
T
T

26. 4. Свойства операций над матрицами

Многие свойства, присущие операциям над
числами, справедливы и для операций над
матрицами:
1. А + В = В + А
2. (А + В) + С = А + (В + С)
3. А (В + С) = АВ +АС
4. (А + В) С = АС + ВС
5. А (В ∙ С) = (АВ) ∙ С
6. А + О = А
7.
А –AА =BО
A B
8.
9.
A B A B A B

27.

Однако имеются и
специфические свойства матриц.
1)Если произведение матриц А·В
существует, то после перестановки
сомножителей
местами
произведение матриц В·А может и
не существовать.
A B C
2 3 3 3
2 3
Например,
существует,
B A
3 3 2 3
существует.
а
не

28.

2) Если даже произведения А·В и
В·А
существуют, то они могут
быть матрицами разных размеров.
Пример. Найти произведение матриц А·В
В·А :
и

29.

Решение.
1 2
0 5
, B
.
A
3 4
6 8
1 2 0 5 12 21
A B
3 4 6 8 24 47
0 5 1 2 15 20
, т.е. AB BA
B A
6 8 3 4 30 44

30.

31.

4) Произведение двух ненулевых
матриц может равняться нулевой
матрице, т.е. из того, что А·В = О, не
следует, что А=О или В=О.
Например,
1 1
O ,
A
1 1
1 1
O,
B
1 1
0 0
O
но A B
0 0

32. Пример. Найти произведение АВ и ВА матриц

Решение

33. Пример. Даны матрицы

Найти произведения матриц АВ и ВА.

34. Решение.

35. Домашнее задание

2)
Выучить конспект.
Найти линейную комбинацию 3А-2В,
если:
3)
1
2 1
1 матриц
Найти
произведение
АВ
и
ВА:
а) А
, В
;
1)
б)
1 1
2 1
6
1 3
9
, В
.
А
2 6
3 2

36.

4) Найти произведение матриц:
5 4
2 5
;
а ) 2 5
3 1 3 4
2 1 3 1
б ) 4 2 0 2 ;
1 1 1 1
3 1 1
в ) 1 2 3 4 1 3 ;
2 6 0

37.

5) Выполнить умножение матриц АВ и ВА
:
4
а ) 1 1 3 3 ;
2
3 4 1 2 3
2
б ) 1 1 3 3 1 1 .
1 2 5 1 2 2