Matritsy_1

1. Матрицы: основные понятия, типы матриц, операции над матрицами

Линейная
алгебра
–
раздел
высшей
математики, который широко используется в
теории
вероятностей
и
математической
статистике, в экономике, в исследовании
операций и др.

2. 1. Понятие матрицы

Определение. Прямоугольная таблица чисел,
содержащая т строк и п столбцов, называется
матрицей размера тхп.
Числа, составляющие матрицу – элементы
матрицы. Элементы, стоящие на диагонали, идущей
из верхнего угла, образуют главную диагональ.
Матрицы обозначаются заглавными буквами
латинского алфавита a
(А,
i j В, С, …), а элементы матрицы
– строчными буквами с двойной индексацией (
,
где i – номер строки,
j – номер столбца).
Матрицы записываются ( ), или [ ], или || ||.

3.

или
a11
a21
...
A
m n
ai1
...
a
m1
a12
a22
...
ai 2
...
am 2
...
...
...
...
...
...
a1 j
a2 j
...
aij
...
amj
или
A ai j , i 1, 2,..., m,
Например,
1 0
A
2 3
2 5
...
...
...
...
...
...
a1n
a2 n
...
ain
...
amn
j 1, 2,..., n.
3
8

4.

Определение. Две матрицы А и В одного
размера называются равными, если они
совпадают поэлементно, т.е. А = В,
если
для любых aij bij
i 1, 2,..., m,
j 1, 2,..., n.

5.

С помощью матриц удобно записывать некоторые
экономические зависимости.
Например, таблица распределения ресурсов по отдельным
отраслям экономики (усл. ед.):
Отрасли экономики
Ресурсы
Электроэнергия
Трудовые ресурсы
Водные ресурсы
промышленность
5,3
2,8
4,8
сельское
хозяйство
4,1
2,1
5,1
5,3 4,1
может быть записана в виде матрицы
A 2,8 2,1
3 2
4,8 5,1
Например, элемент a11 5,3 показывает, сколько электроэнергии потребляет
промышленность, а элемент a22 2,1 – сколько трудовых ресурсов потребляет
сельское хозяйство.

6. 2. Виды матриц

Определение. Матрица, состоящая из одной
строки, называется матрицей (вектором)строкой, а из одного столбца – матрицейстолбцом.
b11
b21
B – матрица-столбец
m 1
...
b
m1
A a11
1 n
a12 ... a1n – матрица-строка

7.

Определение. Если число столбцов матрицы п
равно числу ее строк, то матрицу называют
квадратной п-го порядка.
Ее элементы a11, a22 ,..., ann образуют главную
диагональ матрицы.
Например,
0
2 1
A 1 5
7
0 1 3
– квадратная матрица 3-го порядка.

8.

Определение.
Квадратная
матрица
называется диагональной, если все ее
элементы,
расположенные
вне
главной
диагонали, равны нулю: a11 0 ... 0
0
...
0
a22
...
0
... 0
.
... ...
... ann
Например, диагональная матрица 3-го порядка
1 0 0
A 0 5 0
0 0 3

9.

Если у диагональной матрицы п-го порядка все
диагональные элементы равны единице, то
матрица называется единичной п-го порядка
и обозначается буквой Е:
1
0
E
...
0
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0
...
1
Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид
1 0 0
E 0 1 0
0 0 1

10.

Определение.
Матрица любого размера называется нулевой
или нуль – матрицей, если все ее элементы
равны нулю:
0
0
O
m n
...
0
0
0
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0

11. Определение.

Квадратная
матрица
называется
треугольной,
если
все
ее
элементы,
расположенные по одну сторону от главной
диагонали, равны нулю.
Например,
0
1 0
0 ,
2 5
3 1 3
1 2 3
0 5 1
0 0 3

12. 3. Операции над матрицами

1) Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением матрицы А на
число λ называется матрица
В=λА, элементы
которой bij aij
для i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n.
Правило. Чтобы умножить матрицу на число, надо
каждый элемент матрицы умножить на это число:
a11 a12
a21 a22
...
...
a
m1 am 2
... a1n a11 a12
... a2 n a21 a22
... ...
...
...
... amn am1 am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn

13.

Например,
Если
2 4 , то
A
3 2
10 20
.
5A
15 10
Следствие. Общий множитель всех элементов
матрицы можно выносить за знак матрицы.
Например, 20 12 6
10 6 3
2
52 2 0 26 1 0
Частный случай: произведение матрицы на
число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0 A O

14. 2) Сложение матриц

Определение. Суммой матриц А и В одинакового
размера
называется
матрица
С = А + В, элементы которой равны суммам
элементов матриц А и В, расположенных на
соответствующих
местах,
т.е.
матрицы
складываются поэлементно: cij aij bij
i 1, 2,..., m, j 1, 2,..., n.
для
a11 ... a1n b11 ... b1n a11 b11 ... a1n b1n
A B ... ... ... ... ... ... ...
...
...
a
b
a b
...
a
...
b
...
a
b
mn m1
mn
mn
mn
m1
m1 m1

15.

Например,
если
то:
2
A
1
3
5
0
,
6
2
C A B
3
0
B
2
4 4
10 7
Частный случай: А + О = А.
1
5
4
,
1

16. 3) Вычитание матриц

Определение. Разность двух матриц
одинакового размера определяется через
предыдущие операции:
А – В = А + (−1) ∙ В.
Например,
2 3 0
0 1 4
, B
,
если A
1 5 6
2 5 1
2 2 4
то A B
1 0 5

17. 4) Умножение матриц.

Матрицу А можно умножить на матрицу В
только в том случае, когда число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В.
В результате умножения получится матрица
С, у которой столько же строк, сколько их в
матрице А, и столько же столбцов, сколько их в
матрице В, т.е.
A m n B n k C m k

18.

т.е.
a11
...
A B ai1
...
a
m1
a12
...
ai 2
...
am 2
... a1n
b11
... ...
b21
... ain
...
... ...
bn1
... amn
c11
...
ci1
...
c
m1
... c1 j
... ...
... cij
... ...
... cmj
... b1 j
... b2 j
... ...
... bnj
... c1k
... ...
... cik
... ...
... cmk
... b1k
... b2 k
... ...
... bnk

19.

Элементы матрицы С вычисляются по
формуле:
,
cij ai1 b1 j ai 2 b2 j ... ain bnj
т.е. каждый элемент
равен сумме
cij i-й строки матрицы А
произведений элементов
на соответствующие элементы j-го столбца
матрицы В.
Правило. Для получения элемента , надо
элементы i-й строки матрицы А умножить на
соответствующие элементы j-го столбца матрицы В и
полученные произведения сложить .

20. Пример.

Вычислить произведение матриц А ∙ В, где
1 0 1
1 0 2
, B 5 1 4 .
A
3 1 0
2 0 1
B C
Найдем размер матрицы-произведения 2A
3 3 3
2 3
1 1 0 5 2 2 1 0 0 1 2 0 1 1 0 4 2 1
C
3 1 1 5 0 2 3 0 1 1 0 0 3 1 1 4 0 1
5 0 3
C
2 1 7

21. 5) Возведение в степень

Определение.
Целой
положительной
степенью Ат (т>1) только квадратной
матрицы А называется произведение т
m
матриц, равных А, т.е.
A A A ... A
m ðàç
По определению:
A0 E; A1 A;
A A ; A A A
m k
mk
m
k
m k
.

22. Пример.

Возвести матрицу A в квадрат и в куб,
Решение.
1 2
A
3 4
1 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 4 7 10
A
3 4 3 4 3 1 4 3 3 2 4 4 15 22
2
7 10 1 2 7 1 10 3 7 2 10 4 37 54
A A A
15 22 3 4 15 1 22 3 15 2 22 4 81 118
3
2

23. 6) Транспонирование матрицы

переход от матрицы А к матрице A AT , в которой
строки и столбцы поменялись местами с
сохранением порядка.
Матрица
называется транспонированной
A AT
относительно матрицы А:
a11 a12
a21 a22
A
m n
...
...
a
m1 am 2
... a1n
... a2 n
,
... ...
... amn
a11 a21
a12 a22
T
A
n m
... ...
a
1n a2 n
... am1
... am 2
.
... ...
... amn

24.

Например,
1 2 3
если A
4 5 6
то
1
A 2
3
4
5
6
Свойства операции транспонирования:
A A
A B A B
A A
A B B A
T T
T T
T
T
T
T
T
T

25. 4. Свойства операций над матрицами

Многие свойства, присущие операциям над
числами, справедливы и для операций над
матрицами:
1. А + В = В + А
2. (А + В) + С = А + (В + С)
3. А (В + С) = АВ +АС
4. (А + В) С = АС + ВС
5. А (В ∙ С) = (АВ) ∙ С
6. А + О = А
7. А – А = О
8. A B A B
9. A B A B A B

26.

Однако имеются и специфические свойства
матриц.
1) Если произведение матриц А·В существует, то
после перестановки сомножителей местами
произведение матриц
В·А
может и не
существовать.
A B C существует,
• Например,
2 3 3 3
а
2 3
B A не существует.
3 3 2 3

27.

2)
Если даже произведения А·В и В·А
существуют, то они могут быть матрицами
разных размеров.
• Пример. Найти произведение матриц А·В и В·А :
0 3
2 1 1
, B 1 5
A
0 3 2
1 1
2 0 1 1 1 1 2 3 1 5 1 1 0 12
A B C
2 3 3 2
2 2
0 0 3 1 2 1 0 3 3 5 2 1 1 17
0 3
0 9 6
2 1 1
2 16 11 , т.е. AB BA
B A D 1 5
3 2 2 3
3 3
1 1 0 3 2 2 2 1

28.

3) Когда оба произведения А·В
и
В·А
существуют и оба – матрицы одинакового размера,
коммутативный
(переместительный)
закон
умножения, вообще, не выполняется, т.е.
A B B A
.
Пример. Найти произведение матриц А·В и В·А , где
Решение.
1 2
0 5
, B
.
A
3 4
6 8
1 2 0 5 12 21
A B
3 4 6 8 24 47
0 5 1 2 15 20
, т.е. AB BA
B A
6 8 3 4 30 44

29.

• Частный случай. Коммутативным законом
обладает
произведение
любой
квадратной
матрицы А п-го порядка на единичную матрицу
того же порядка, причем это произведение равно
А:
A E E A A
• Т.о., единичная матрица при умножении играет
ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

30.

4) Произведение двух ненулевых матриц может
равняться нулевой матрице, т.е. из того, что А·В =
О, не следует, что А=О или В=О.
Например,
1 1
O ,
A
1 1
1 1
O,
B
1 1
0 0
O
но A B
0 0