Неопеределенный_Интеграл

1. Неопределенный интеграл

Интегральное исчисление

2. Определение первообразной

Функция F(x) называется первообразной для
функции f(x) на отрезке [a; b] , если во всех
точках этого отрезка выполняется
равенство:
F ( x) f ( x)
'

3. Теорема

Все первообразные для данной функции
отличаются на постоянное слагаемое.
Для данной функции существует
семейство первообразных.
F1 ( x) F2 ( x) C

4. Определение неопределенного интеграла

Неопределенным интегралом называется
функциональное выражение
обозначается:
F(x)+C и
f ( x)dx F ( x) C
f(x) - подинтегральная функция
dx - дифференциал переменной, по
которой интегрируют функцию.

5. Геометрический смысл неопределенного интеграла

Неопределенный интеграл F(x) + C – это семейство
кривых, каждая из которых получается путем сдвига
одной кривой параллельно самой себе вверх и вниз
по оси y.
Первообразная и неопределенный интеграл
существуют только для непрерывных
на отрезке [a; b] функций.

6. Свойства неопределенного интеграла

1) ( f ( x)dx)! ( F ( x) C )! f ( x)
2) d ( f ( x)dx) f ( x)dx
3) dF ( x) f ( x)dx F ( x) C
4) kf ( x)dx k f ( x)dx
5) ( f ( x) g ( x)) dx f ( x)dx g ( x)dx

7. Таблица неопределенных интегралов

1) Adx Ax C
n 1
x
2) x n dx
C
n 1
dx
3) ln x C
x
4) sin xdx cos x C
5) cos xdx sin x C
dx
6)
tgx C
2
cos x
dx
7) 2 ctgx C
sin x
x
a
8) a x dx
C
ln a
9) e x dx e x C
dx
10)
arctgx C
2
1 x
dx
11)
arcsin x C
1 x2
12) tgxdx ln | cos x | C
13) ctgxdx ln | sin x | C

8. Метод подведения под знак дифференциала

dx d ( x a )
adx d (ax)
1
n 1
x dx
d (x )
n 1
n

9. Интегрирование по частям

Î ñí î âí àÿ ô î ðì óëà
udv uv vdu
Ï ðèì åí ÿåòñÿ ê èí òåãðàëàì âèäà
ax
e
1. Pn ( x) cos(ax) dx ,
u sin( ax)
dv
ln x
arcsin x
2.
Pn ( x)dx
arccos x dv
arctgx
u

10. Циклические интегралы

sin (kx)e dx
cos
(
kx
)
e
dx
ax
x
При решении используется метод
интегрирования по частям

11. Интегрирование дробно-рациональных функций

Âèäû ï ðî ñòåéø èõ äðî áåé:
A
1)
x a
A
2)
,k 2
k
( x a)
Ax B
3) 2
, äåéñòâèòåëüí û õ êî ðí åé í åò
x px q
Ax B
4) 2
, k 2, äåéñòâèòåëüí û õ êî í åé í åò
k
( x px q )

12. Разложение дроби на простые слагаемые

ax b
A
B
C
x( x c)( x d ) x x c x d
ax b
A B Cx D
E
2 2
2 2
x x c x d
x ( x c)( x d ) x

13. Интегралы от тригонометрических функций. Непосредственное интегрирование.

Используются тригонометрические тождества:
2
2
sin x 1 cos x
2
2
cos x 1 sin x
1
cos x (1 cos 2 x )
2
1
cos kxdx d (sin kx )
k
2
1
sin x (1 cos 2 x)
2
2
1
sin kxdx d (cos kx)
k

14. Интегралы от тригонометрических функций.

Используются тригонометрические тождества:
1
sin cos (sin( ) sin( ))
2
1
cos cos (cos( ) cos( ))
2
1
sin sin (cos( ) cos( ))
2

15. Интегралы от тригонометрических функций. Универсальная тангенциальная подстановка.

tg
x
t
2
x 2arctg t
2t
sin x
1 t 2
2dt
dx
2
1 t
1 t 2
cos x
1 t 2

16. Интегралы от тригонометрических функций. Простая тангенциальная подстановка.

1
2
tg x t
cos x
x arctgt
dt
dx
1 t 2
2
1 t
2
sin x
2
t
2
1 t

17. Интегрирование дифференциальных биномов. Подстановки Чебышева.

x ax b dx,
m
n
p
a, b const
1. p целое число x t s , s общий множитель дробей m n
m 1
2.
целое число ax n b t s s знаменатель дроби p
n
m 1
ax n b s
3.
p целое число
t s знаменатель дроби p
n
n
x
Используется метод подстановок таким образом,
чтобы подынтегральная функция стала
рациональной.

18. Интегралы, содержащие радикалы

ï î äû í òåãðàëüí àÿ
ô óí êöèÿ
1. a x
2
2
2
2. a x
2
3. x a
2
2
ï î äñòàí î âêà
x a sin t
x atgt
a
x
sin t

19. Подстановки Эйлера.

R( x, ax bx c )dx
2
1. ax bx c ax t , a 0
2
2. ax bx c xt c , c 0
2
3. ax bx c a ( x )t , ãäå
, äåéñò âèò åëüí û å êî ðí è
2