24.11.2025 Неопределенный интеграл

1. Тема: НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. 1.2. Неопределенный интеграл

ОПР. Совокупность всех первообразных
F ( x ) C для данной функции f ( x )
называется ее неопределенным интегралом
и обозначается
f ( x)dx F ( x) C ,
где
C
– произвольная постоянная.

3.

Знак
называется интегралом, функция
f (x) – подынтегральной функцией,
f ( x)dx – подынтегральным выражением,
x
– переменной интегрирования.
Операция нахождения неопределенного
интеграла для данной функции называется
интегрированием этой функции.
Интегрирование – операция, обратная
операции дифференцирования.

4. Основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению:
d f ( x )dx f ( x )dx

5.

2.
Производная
неопределенного
подынтегральной функции:
интеграла
f ( x)dx f ( x).
Таким образом,
правильность интегрирования проверяется
дифференцированием!
равна

6.

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен сумме этой функции и произвольной
постоянной:
dF
(
x
)
F
(
x
)
C
.

7.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
af
(
x
)
dx
a
f
(
x
)
dx
.

8.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы
конечного числа непрерывных функций равен алгебраической
сумме интегралов от слагаемых функций:
f ( x) g( x) dx f ( x)dx g( x)dx.

9.

6. Если
f ( x) dx F ( x) C ,
где
производную.
то
f (u) du F (u) C ,
− произвольная
функция, имеющая непрерывную
u ( x)
Данное
свойство
называется
неопределенного интеграла.
инвариантностью

10.

При вычислении неопределенного интеграла используют формулу:
1
f (ax b)dx a F (ax b) C , a 0.

11. Таблица простейших интегралов

1. 0 du C;
3. u du
1
u
1
2. 1 du u C;
C , 1;
1
1
4. 2 du C;
u
u
1
6. du ln u C;
u
1
5.
du 2 u C ;
u
u
a
u
7. a du
C;
ln a
9. sin udu cos u C;
10. cos udu sin u C;
1
11.
du tgu C ;
2
cos u
1
12. 2 du ctgu C;
sin u
8. e udu e u C;

12.

1
1
u
13. 2
du arctg C;
2
u a
a
a
14.
1
u
du arcsin C ;
2
2
a
a u
du
1
u a
15. 2
ln
C;
2
u a
2a u a
16.
du
u2 a 2
ln u u a C .
2
2

13.

Вычисление интегралов с помощью преобразования
подынтегрального выражения к табличной форме и
использования свойств неопределенного интеграла называется
непосредственным интегрированием.
Вспомогательные сведения
1. a a a
m
n
m n
1
; 3. n a n ;
a
m
2.
a
m n
a ;
n
a
4.
n
a a
m
m
n
.

14. Пример 1. Используя таблицу и свойства интегралов, найти интегралы.

5 1
dx
x
5
1. 5 x dx (ô î ðì óëà (3))=
C
x
5 1
1
4 C.
4x
2.
7 dx
(2 x 7 )dx 2 xdx
x
7
x
x
2
x
x
7
(ô î ðì óëû (3), (7))= 2
C x
C.
2 ln 7
ln 7
2

15.

3.
2
x
dx (ô î ðì óëà (3))=
x dx
5
5
1
2
5
7
x
x 2
=
C
C.
5 1
7
2
2
dx
4. 2
x 16
dx
(ô î ðì óëà (13))= 2
2
x 4
1
x
arctg C .
4
4

16.

5.
6.
dx
x 25
2
dx
ln x x 2 25 C .
9 x
2
dx
x
arcsin C .
3
32 x 2

17. 1.3. Основные методы вычисления неопределенных интегралов

Непосредственное интегрирование
Метод интегрирования, при котором данный интеграл путем
тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения)
и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или
нескольким табличным интегралам, называется непосредствен-ным
интегрированием.

18.

При сведении данного интеграла к табличному часто
используется следующее преобразование дифференциала
(операция «подведения под знак дифференциала»).
Например:
f ( u)du d ( f ( u))
du d (u b), b const;
1
du d (au b), a 0, a const;
a
cos udu d (sin u).

19. Примеры

1
9
1. (3 x 1) dx (3 x 1) d (3 x 1)
3
10
1 (3 x 1)
C.
3
10
9
dx
1 d (4 x 5)
2.
4x 5 4 4x 5
1
ln 4 x 5 C .
4

20.

x
x
x
3. cos 7 dx 5 cos 7 d 7
5
5
5
x
5sin 7 C .
5

21. Интегрирование заменой переменной

Метод
замены
переменной
(метод
подстановки) состоит в преобразовании
интеграла f(x)dx в другой интеграл
f(u)du,
который вычисляется проще, чем исходный.

22. Пример

t 6x 3
1.
(6 x 3) dx dt 6dx, dx dt
5
6
6
1 5
1t
t dt
C ( t 6 x 3)
6
66
1
6
(6 x 3) C .
36

23.

t 5 7x
dx
2.
1
5 7 x dt 7dx , dx dt
7
1 dt
1
ln t C (t 5 7 x )
7 t
7
1
ln 5 7 x C .
7

24.

3.
x
sin
8
dx
2
t
x
8,
2
1
dt
dx , dx 2dt
2
x
2 sin tdt 2cos t C ( t 8)
2
x
2cos 8 C .
2

25. Интегрирование по частям

Формула
где
и
uv vdu,
udv– дифференцируемые
функции, называется
u
u
(
x
)
v
v
(
x
)
формулой интегрирования по частям.
Метод интегрирования по частям целесообразно применять,
если
более прост в вычислении, чем
vdu
udv
.

26. Некоторые типы интегралов, которые можно вычислять методом интегрирования по частям

mx
mx
P
(
x
)
a
dx,
Pn ( x )e dx, n
1.
Интегралы вида
P ( x)sin mxdx, Pn ( x )cos mxdx,
n
где
Pn ( x ) m − число.
− многочлен,
Здесь полагают
за
u Pn ( x ),
обозначают остальные сомножители.
dv

27.

P ( x )ln xdx, P ( x)arcsin xdx,
Pn ( x)arccos xdx, Pn ( x)arctgxdx, P ( x)arcctgxdx.
2. Интегралы вида
n
n
n
Здесь полагают
за u
Pn (сомножители.
x )dx dv
обозначают остальные
3. Интегралы вида
e cos bxdx, e sin bxdx ,
За u можно принять функцию
где a и b − числа.
ax
ax
ax
e .

28. Пример. Вычислить неопределенные интегралы методом интегрирования по частям.

1. 2 x 5 cos xdx
u 2 x 5, du 2dx
dv cos x , v cos xdx sin x
(2 x 5) sin x 2 sin xdx
(2 x 5)sin x 2cos x C