Неопределенный интеграл

1.

2.

Функция F(x) называется
первообразной функции f(x) на
промежутке Х, если в каждой точке
х этого промежутка
F ( x) f ( x)

3.

Совокупность всех первообразных для
функции f(x) на промежутке Х
называется неопределенным
интегралом от функции f(x).
f ( x)dx F ( x) C
Функция f(x) называется
подынтегральной функцией.
Выражение f(x)dx называется
подынтегральным выражением.

4.

Геометрический смысл неопределенного
интеграла: семейство интегральных кривых.

5.

Интегрирование
является
обратной дифференцированию.
операцией,
Для проверки правильности результата
интегрирования надо продифференцировать
результат.

6.

Теорема существования
неопределенного интеграла
Если функция f (x) непрерывна на а, b , то для
нее существует первообразная, а значит, и
неопределенный интеграл.

7.

1
Производная от неопределенного интеграла
равна подынтегральной функции.
f ( x)dx f ( x)

8.

2
Дифференциал от неопределенного интеграла
равен подынтегральному выражению.
d
f ( x)dx f ( x)dx

9.

3
Неопределенный интеграл от дифференциала
некоторой функции равен этой функции с
точностью до постоянного слагаемого.
dF
(
x
)
F
(
x
)
C

10.

4
Постоянный множитель можно выносить за
знак неопределенного интеграла.
k f ( x)dx k f ( x)dx

11.

5
Интеграл от алгебраической суммы конечного
числа непрерывных функций равен
алгебраической сумме интегралов от
каждой функций:
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx

12.

13.

0 du c
du
u
c

14.

u
du
1
u
1
1
c
du
u ln u c

15.

u
a
a du ln a c
u
e
du
e
c
u
u

16.

sin
udu
cos
u
c
cos
udu
sin
u
c

17.

du
ctgu
c
sin 2 u
du
tgu
c
cos 2 u

18.

tgudu
ln
cos
u
c
ctgudu
ln
sin
u
c

19.

20.

Вычислить интеграл

21.

22.

23.

Таблица
дифференциалов
adu d (ax b)
u du d
u
1
1
u
a
a du d
ln a
u
du
d ln u
u
e du de
u
u

24.

sin udu d cos u
du
dtgu
2
cos u
du
u
d arcsin
a
a2 u2
cos udu d sin u
du
dctgu
2
sin u
du
darctgu
2
1 x

25.

Вычислить интеграл
sin x cos xdx

26.

27.

Метод замены переменной описывается
формулой:
f ( x)dx f ( (t )) (t )dt

28.

Вычислить интегралы:
x( x 1)
12
dx

29.

x 1 t
x( x 1)
12
dx x t 1
dx dt
(t 1) t 12dt t 12dt t 13dt
t
t
( x 1)
( x 1)
C
C
13 14
13
14
13
14
13
14

30.

sin
4
x cos xdx

31.

sin
4
x cos xdx
sin x t
dt cos xdx
dt
1 5
1
t dt t C sin 5 x C
5
5
4

32.

Пусть F(x) – некоторая
первообразная для функции f(x).
Тогда
1
f (kx b)dx F (kx b) C
k

33.

Вычислить интеграл:
1
4 x 3 dx

34.

k 4 1
1
4 x 3 dx b 3 4 ln 4 x 3 C